Exercice 52

1. Calculez : \(\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) \cdot 1^{5}\)
   
2. Calculez : \(\left(-\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - \left(\frac{5}{2}\right)^{2} \div \left(\frac{10}{3}\right)\)
   
3. Calculez : \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \div \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)^{2}\)
   
4. Calculez : \(\left(\frac{1}{5}\right)^{3} - \left(-\frac{1}{5}\right)^{2}\)
   
5. Calculez : \(\left(\frac{6}{8}\right)^{2} \cdot \left(\frac{3}{9}\right)^{2} \cdot \left(\frac{64}{36}\right)^{0}\)
   
6. Calculez : \(\left(\left(\frac{6}{7}\right)^{2} \cdot \frac{2}{21}\right) \div \left(\frac{2}{7}\right)^{3}\)

Réponse

Réponses finales : 1) –1/6, 2) –71/40, 3) 18, 4) –4/125, 5) 1/16, 6) 3.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des questions pas à pas.

────────────────────────────── Question 1 : Calcul de (2/3)² · (–3/8) · 1⁵

1. Calcul de (2/3)²
     (2/3)² = (2²)/(3²) = 4/9.

2. Calcul de 1⁵
     1⁵ = 1, car 1 élevé à n’importe quelle puissance reste égal à 1.

3. Multiplication
     On multiplie les résultats : (4/9) · (–3/8) · 1
     D’abord, (4/9) · (–3/8) = (4 × (–3))/(9 × 8) = –12/72.
     On simplifie –12/72 en divisant numérateur et dénominateur par 12 : –12÷12 = –1 et 72÷12 = 6, ce qui donne –1/6.

Réponse de la question 1 : –1/6

────────────────────────────── Question 2 : Calcul de (–1/2)³ · (–4/5) – (5/2)² ÷ (10/3)

1. Première partie : (–1/2)³ · (–4/5)
    a) Calcul de (–1/2)³
     (–1/2)³ = (–1)³/(2³) = –1/8.
    b) Multiplication par (–4/5)
     (–1/8) · (–4/5) = 4/40.
     Simplifions 4/40 en divisant par 4 : 4÷4 = 1 et 40÷4 = 10, donc 1/10.

2. Deuxième partie : (5/2)² ÷ (10/3)
    a) Calcul de (5/2)²
     (5/2)² = 25/4.
    b) Division par (10/3)
     25/4 ÷ 10/3 = 25/4 · 3/10 = (25 × 3)/(4 × 10) = 75/40.
     On simplifie 75/40 en divisant numérateur et dénominateur par 5 : 75÷5 = 15 et 40÷5 = 8, donc 15/8.

3. Soustraction des deux parties
     On effectue : 1/10 – 15/8.
     Pour soustraire, il faut un dénominateur commun :
      1/10 = (1×4)/(10×4) = 4/40
      15/8 = (15×5)/(8×5) = 75/40
     Ainsi, 4/40 – 75/40 = (4 – 75)/40 = –71/40.

Réponse de la question 2 : –71/40

────────────────────────────── Question 3 : Calcul de (1/2)³ ÷ ( (1/3 – 1/4)² )

1. Calcul du numérateur
     (1/2)³ = 1³/2³ = 1/8.

2. Calcul du dénominateur
    a) Effectuons d’abord 1/3 – 1/4
     Pour soustraire, mettons au même dénominateur. Le PPCM de 3 et 4 est 12 :
      1/3 = 4/12 et 1/4 = 3/12
      Donc, 1/3 – 1/4 = (4 – 3)/12 = 1/12.
    b) Élevons ce résultat au carré
     (1/12)² = 1²/12² = 1/144.

3. Division
     (1/8) ÷ (1/144) = 1/8 · 144/1 = 144/8 = 18.

Réponse de la question 3 : 18

────────────────────────────── Question 4 : Calcul de (1/5)³ – (–1/5)²

1. Calcul de (1/5)³
     (1/5)³ = 1³/5³ = 1/125.

2. Calcul de (–1/5)²
     (–1/5)² = (–1)²/5² = 1/25.
     (On rappelle que le carré d’un nombre négatif est positif.)

3. Soustraction
     1/125 – 1/25
     Pour soustraire, exprimons 1/25 avec le dénominateur 125 :
      1/25 = (1×5)/(25×5) = 5/125
     Ainsi, 1/125 – 5/125 = (1 – 5)/125 = –4/125.

Réponse de la question 4 : –4/125

────────────────────────────── Question 5 : Calcul de (6/8)² · (3/9)² · (64/36)⁰

1. Calcul de chaque terme
    a) (6/8)²
     Simplifions d’abord 6/8 en divisant par 2 : 6/8 = 3/4
     Ensuite, (3/4)² = 9/16.
    b) (3/9)²
     Simplifions 3/9 = 1/3
     Donc, (1/3)² = 1/9.
    c) (64/36)⁰
     Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1.

2. Multiplication
     Multipliant les trois résultats :
     9/16 · 1/9 = 9/144 = 1/16
     Puis, (1/16) · 1 = 1/16.

Réponse de la question 5 : 1/16

────────────────────────────── Question 6 : Calcul de ( (6/7)² · (2/21) ) ÷ ( (2/7)³ )

1. Calcul de la partie numérateur
    a) Calcul de (6/7)²
     (6/7)² = 36/49.
    b) Multiplication par 2/21
     (36/49) · (2/21) = (36 × 2)/(49 × 21) = 72/1029.
     Simplifions cette fraction :
      Divisons numérateur et dénominateur par 3 :
       72 ÷ 3 = 24
        1029 ÷ 3 = 343
      On obtient ainsi 24/343.

2. Calcul de la partie dénominateur
     (2/7)³ = 2³/7³ = 8/343.

3. Division des deux parties
     (24/343) ÷ (8/343) = (24/343) · (343/8)
     Les 343 se simplifient, donnant 24/8 = 3.

Réponse de la question 6 : 3

────────────────────────────── Résumé des réponses :

1. –1/6
   
2. –71/40
   
3. 18
   
4. –4/125
   
5. 1/16
   
6. 3