Exercice reformulé :
Calculez les expressions suivantes de manière claire et étape par étape.
Calculez l’expression : \[ \frac{5}{6} \div \left(\frac{4}{3} + \frac{3}{4}\right) \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \left(\frac{2}{5} \div 3\right) \div \left(\frac{2}{5} + 3\right) \]
Résolvez le calcul suivant : \[ \left(+\frac{7}{9}\right) - \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \left(+\frac{5}{9}\right) \]
Calculez le quotient suivant : \[ \frac{75}{42} \div \frac{55}{154} \]
Assurez-vous de présenter toutes les étapes de votre raisonnement et de simplifier vos réponses, si possible.
Réponses finales :
\[\frac{5}{6} \div \left(\frac{4}{3} + \frac{3}{4}\right)\]
Étape 1 : Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses
Nous devons d’abord additionner les deux fractions à l’intérieur des parenthèses.
\[\frac{4}{3} + \frac{3}{4}\]
Pour additionner ces fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. Le plus petit multiple commun de 3 et 4 est 12.
\[\frac{4}{3} = \frac{4 \times 4}{3 \times
4} = \frac{16}{12}\]
\[\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3}
= \frac{9}{12}\]
Maintenant, additionnons les deux fractions :
\[\frac{16}{12} + \frac{9}{12} = \frac{25}{12}\]
Étape 2 : Effectuer la division
Nous avons maintenant :
\[\frac{5}{6} \div \frac{25}{12}\]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Donc :
\[\frac{5}{6} \times \frac{12}{25}\]
Étape 3 : Simplifier les fractions
Simplifions avant de multiplier :
\[\frac{5}{6} \times \frac{12}{25} = \frac{5 \times 12}{6 \times 25} = \frac{60}{150}\]
On peut simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 30 :
\[\frac{60 \div 30}{150 \div 30} = \frac{2}{5}\]
Réponse finale :
\[\frac{2}{5}\]
\[\left(\frac{2}{5} \div 3\right) \div \left(\frac{2}{5} + 3\right)\]
Étape 1 : Simplifier la première division
\[\frac{2}{5} \div 3 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}\]
Étape 2 : Simplifier l’addition dans le dénominateur
\[\frac{2}{5} + 3\]
Pour additionner une fraction et un entier, convertissons l’entier en fraction ayant le même dénominateur :
\[3 = \frac{15}{5}\]
Ainsi,
\[\frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{17}{5}\]
Étape 3 : Effectuer la division
Nous avons maintenant :
\[\frac{2}{15} \div \frac{17}{5}\]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[\frac{2}{15} \times \frac{5}{17} = \frac{10}{255}\]
Étape 4 : Simplifier la fraction
Le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par 5 :
\[\frac{10 \div 5}{255 \div 5} = \frac{2}{51}\]
Réponse finale :
\[\frac{2}{51}\]
\[\left(+\frac{7}{9}\right) - \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \left(+\frac{5}{9}\right)\]
Étape 1 : Simplifier l’expression
Commençons par résoudre la multiplication :
\[\left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \left(+\frac{5}{9}\right)\]
Lorsque nous multiplions deux fractions, nous multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
\[-\frac{2 \times 5}{5 \times 9} = -\frac{10}{45}\]
Simplifions cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 5 :
\[-\frac{10 \div 5}{45 \div 5} = -\frac{2}{9}\]
Étape 2 : Effectuer la soustraction
Nous avons maintenant :
\[\frac{7}{9} - \left(-\frac{2}{9}\right)\]
Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé :
\[\frac{7}{9} + \frac{2}{9} = \frac{9}{9} = 1\]
Réponse finale :
\[1\]
\[\frac{75}{42} \div \frac{55}{154}\]
Étape 1 : Simplifier la division
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[\frac{75}{42} \times \frac{154}{55}\]
Étape 2 : Simplifier avant de multiplier
Réduisons les fractions en factorisant :
\[\frac{75}{42} = \frac{25 \times 3}{6 \times 7} = \frac{25 \times 3}{2 \times 3 \times 7} = \frac{25}{2 \times 7} = \frac{25}{14}\]
\[\frac{154}{55} = \frac{22 \times 7}{11 \times 5} = \frac{2 \times 11 \times 7}{11 \times 5} = \frac{2 \times 7}{5} = \frac{14}{5}\]
Ainsi,
\[\frac{25}{14} \times \frac{14}{5}\]
Nous pouvons simplifier en annulant le 14 :
\[\frac{25}{\cancel{14}} \times \frac{\cancel{14}}{5} = \frac{25}{5} = 5\]
Réponse finale :
\[5\]