Calculer rapidement en utilisant des propriétés connues :
Résumé des exercices corrigés :
Calculer rapidement en utilisant des propriétés connues :
\[ \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) \]
Identifier le nombre de signes négatifs :
Il y a cinq facteurs négatifs :
\[ (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \cdot (-) \]
Comme il y a un nombre impair de signes négatifs (5), le résultat final sera négatif.
Multiplier les numérateurs entre eux :
\[ 2 \times 5 \times 3 \times 7 \times 4 \times 1 = 2 \times 5 = 10 \\ 10 \times 3 = 30 \\ 30 \times 7 = 210 \\ 210 \times 4 = 840 \\ 840 \times 1 = 840 \]
Numérateur total : 840
Multiplier les dénominateurs entre eux :
\[ 3 \times 4 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 = 3 \times 4 = 12 \\ 12 \times 2 = 24 \\ 24 \times 5 = 120 \\ 120 \times 5 = 600 \\ 600 \times 7 = 4200 \]
Dénominateur total : 4200
Former la fraction et simplifier :
\[ \frac{840}{4200} = \frac{840 \div 840}{4200 \div 840} = \frac{1}{5} \]
Appliquer le signe négatif :
Le résultat final est négatif :
\[ -\frac{1}{5} \]
\[ \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = -\frac{1}{5} \]
Calculer rapidement en utilisant des propriétés connues :
\[ \left(\frac{121}{5}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{11}\right) \cdot 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) \]
Identifier que l’un des facteurs est zéro :
Dans une multiplication, si un des facteurs est zéro, le produit total est zéro.
Conclusion :
Peu importe les autres facteurs, le résultat est :
\[ 0 \]
\[ \left(\frac{121}{5}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{11}\right) \cdot 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) = 0 \]
Calculer rapidement en utilisant des propriétés connues :
\[ \left(-\frac{4}{3}\right) + \left(\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{4}{3}\right) + \left(-\frac{3}{4}\right) \]
Regrouper les termes similaires :
\[ \left(-\frac{4}{3} + \frac{4}{3}\right) + \left(\frac{3}{4} - \frac{3}{4}\right) \]
Simplifier chaque groupe :
\[ 0 + 0 = 0 \]
Car \(-\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0\) et \(\frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0\).
\[ \left(-\frac{4}{3}\right) + \left(\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{4}{3}\right) + \left(-\frac{3}{4}\right) = 0 \]
Calculer rapidement en utilisant des propriétés connues :
\[ \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) \cdot \left(\frac{5}{2}\right) \cdot (-1) \]
Compter le nombre de signes négatifs :
Il y a trois facteurs négatifs :
\[ (-) \cdot (-) \cdot \left(\frac{5}{2}\right) \cdot (-) \]
Un nombre impair de signes négatifs (3), donc le résultat final est négatif.
Multiplier les numérateurs :
\[ 1 \times 6 \times 5 \times 1 = 30 \]
Multiplier les dénominateurs :
\[ 3 \times 5 \times 2 \times 1 = 30 \]
Former la fraction :
\[ \frac{30}{30} = 1 \]
Appliquer le signe négatif :
\[ -1 \]
\[ \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) \cdot \left(\frac{5}{2}\right) \cdot (-1) = -1 \]
Calculer rapidement en utilisant des propriétés connues :
\[ 0 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{144}{5}\right) \]
Identifier que l’un des facteurs est zéro :
Dans une multiplication, si un des facteurs est zéro, le produit total est zéro.
Conclusion :
\[ 0 \]
\[ 0 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{144}{5}\right) = 0 \]
Calculer rapidement en utilisant des propriétés connues :
\[ \left(\frac{5}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{23}{50}\right) + \left(-\frac{4}{7}\right) \cdot \left(-\frac{23}{50}\right) \cdot \left(\frac{7}{4}\right) - \left(\frac{7}{2}\right) \]
Simplifier chaque terme séparément :
Premier terme :
\[ \left(\frac{5}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{5}\right) = \frac{5 \times 2}{2 \times 5} = \frac{10}{10} = 1 \]
Ensuite :
\[ 1 \cdot \left(-\frac{23}{50}\right) = -\frac{23}{50} \]
Deuxième terme :
\[ \left(-\frac{4}{7}\right) \cdot \left(-\frac{23}{50}\right) \cdot \left(\frac{7}{4}\right) \]
Multiplier les signes :
\[ (-) \cdot (-) \cdot (+) = + \]
Calcul des fractions :
\[ \frac{4}{7} \cdot \frac{23}{50} \cdot \frac{7}{4} = \frac{4 \times 23 \times 7}{7 \times 50 \times 4} \]
Simplifier :
\[ \frac{(4 \times 7) \times 23}{7 \times 50 \times 4} = \frac{28 \times 23}{28 \times 50} = \frac{23}{50} \]
Donc :
\[ \frac{23}{50} \]
Assembler les termes :
\[ -\frac{23}{50} + \frac{23}{50} - \frac{7}{2} \]
Les deux premiers termes s’annulent :
\[ 0 - \frac{7}{2} = -\frac{7}{2} \]
\[ \left(\frac{5}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{23}{50}\right) + \left(-\frac{4}{7}\right) \cdot \left(-\frac{23}{50}\right) \cdot \left(\frac{7}{4}\right) - \left(\frac{7}{2}\right) = -\frac{7}{2} \]
Calculer rapidement en utilisant des propriétés connues :
\[ \left(\frac{2}{7}\right) \cdot \left(-\frac{7}{2} + \frac{7}{2}\right) + \frac{2}{7} \]
Simplifier l’expression dans les parenthèses :
\[ -\frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 0 \]
Multiplier par \(\frac{2}{7}\) :
\[ \left(\frac{2}{7}\right) \cdot 0 = 0 \]
Ajouter \(\frac{2}{7}\) :
\[ 0 + \frac{2}{7} = \frac{2}{7} \]
\[ \left(\frac{2}{7}\right) \cdot \left(-\frac{7}{2} + \frac{7}{2}\right) + \frac{2}{7} = \frac{2}{7} \]
Toutes les opérations ont été effectuées en appliquant les propriétés des fractions et des opérations arithmétiques de manière systématique. Cela permet d’obtenir rapidement et efficacement les résultats attendus.