Copiez cet exercice dans votre cahier et complétez-le en utilisant l’un des symboles \(\in\) ou \(\notin\) :
| \(\sqrt{5} \quad \ldots \quad \mathbb{N}\) | \(3\, \frac{1}{2} \quad \ldots \quad \mathbb{Q}\) | \(-\dfrac{3}{4} \quad \ldots \quad \mathbb{Z}\) |
|---|---|---|
| \(1{,}2\,\overline{34} \quad \ldots \quad \mathbb{R}\) | \(+1{,}2 \quad \ldots \quad \mathbb{N}\) | \(\sqrt{-16} \quad \ldots \quad \mathbb{Z}\) |
| \(\sqrt{0{,}1} \quad \ldots \quad \mathbb{Q}\) | \(-\dfrac{25}{5} \quad \ldots \quad \mathbb{R}\) | \(0 \quad \ldots \quad \mathbb{Z}\) |
Voici le récapitulatif des réponses :
Cet exercice consiste à déterminer si un nombre appartient ou non à un ensemble donné en utilisant les symboles \(\in\) (appartient à) ou \(\notin\) (n’appartient pas à). Nous allons examiner chaque cas un par un en expliquant la logique et les opérations mathématiques nécessaires.
Ensemble concerné : \(\mathbb{Z}\) (les entiers relatifs)
Analyse : - \(3\, \frac{1}{2}\) est une fraction ou un nombre décimal (équivalent à 3,5). - L’ensemble \(\mathbb{Z}\) contient uniquement les nombres entiers, positifs, négatifs ou zéro, sans partie décimale.
Conclusion : \[ 3\, \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z} \]
Ensemble concerné : \(\mathbb{Z}\) (les entiers relatifs)
Analyse : - \(-\dfrac{3}{4}\) est une fraction négative. - Les entiers relatifs sont des nombres sans partie décimale ni fractionnaire.
Conclusion : \[ -\dfrac{3}{4} \notin \mathbb{Z} \]
Ensemble concerné : \(\mathbb{N}\) (les nombres naturels)
Analyse : - \(\sqrt{5}\) est un nombre irrationnel, approximativement égal à 2,236. - Les nombres naturels sont les entiers positifs (1, 2, 3, …).
Conclusion : \[ \sqrt{5} \notin \mathbb{N} \]
Ensemble concerné : \(\mathbb{Q}\) (les nombres rationnels)
Analyse : - Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme une fraction \(\dfrac{a}{b}\), où \(a\) et \(b\) sont des entiers et \(b \neq 0\). - \(3\, \frac{1}{2} = \dfrac{7}{2}\), ce qui est une fraction de deux entiers.
Conclusion : \[ 3\, \frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \]
Ensemble concerné : \(\mathbb{Z}\) (les entiers relatifs)
Analyse : - Ceci est une répétition de l’exercice 2. - \(-\dfrac{3}{4}\) est une fraction, non un entier.
Conclusion : \[ -\dfrac{3}{4} \notin \mathbb{Z} \]
Ensemble concerné : \(\mathbb{R}\) (les nombres réels)
Analyse : - \(1{,}2\,\overline{34}\) représente un nombre décimal périodique (1,2343434…). - Les nombres réels englobent tous les nombres rationnels et irrationnels, incluant les décimaux périodiques.
Conclusion : \[ 1{,}2\,\overline{34} \in \mathbb{R} \]
Ensemble concerné : \(\mathbb{N}\) (les nombres naturels)
Analyse : - \(+1{,}2\) est un nombre décimal positif. - Les nombres naturels sont les entiers positifs sans partie décimale.
Conclusion : \[ +1{,}2 \notin \mathbb{N} \]
Ensemble concerné : \(\mathbb{Z}\) (les entiers relatifs)
Analyse : - \(\sqrt{-16}\) n’est pas un nombre réel car la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans les réels. - Les entiers relatifs sont des nombres réels.
Conclusion : \[ \sqrt{-16} \notin \mathbb{Z} \]
Ensemble concerné : \(\mathbb{Q}\) (les nombres rationnels)
Analyse : - \(\sqrt{0{,}1} = \sqrt{\dfrac{1}{10}}\) est un nombre irrationnel car il ne peut pas être exprimé comme une fraction de deux entiers. - Les nombres rationnels sont ceux qui peuvent s’exprimer comme une fraction \(\dfrac{a}{b}\).
Conclusion : \[ \sqrt{0{,}1} \notin \mathbb{Q} \]
Ensemble concerné : \(\mathbb{R}\) (les nombres réels)
Analyse : - \(-\dfrac{25}{5} = -5\), qui est un nombre entier. - Les nombres réels incluent tous les nombres rationnels et irrationnels, y compris les entiers.
Conclusion : \[ -\dfrac{25}{5} \in \mathbb{R} \]
Ensemble concerné : \(\mathbb{Z}\) (les entiers relatifs)
Analyse : - \(0\) est un entier. - L’ensemble \(\mathbb{Z}\) inclut tous les entiers, positifs, négatifs et zéro.
Conclusion : \[ 0 \in \mathbb{Z} \]
En suivant ces étapes d’analyse pour chaque nombre et ensemble, vous pouvez déterminer correctement l’appartenance ou non d’un nombre à un ensemble spécifique en utilisant les symboles \(\in\) ou \(\notin\).