Convertissez les nombres suivants en fractions irréductibles :
\[ 2 \frac{1}{2} ; \quad 4 \frac{3}{4} ; \quad 5 \frac{3}{7} ; \quad 3 \frac{2}{3} ; \quad 6 \frac{5}{6} ; \quad 1 \frac{1}{5} \]
Tous les nombres mixtes ont été convertis en fractions irréductibles en multipliant la partie entière par le dénominateur, en ajoutant le numérateur, et en simplifiant si nécessaire. Chaque résultat obtenu est une fraction irréductible.
Correction : Conversion des nombres mixtes en fractions irréductibles
Pour convertir un nombre mixte en une fraction irréductible, nous suivrons les étapes suivantes :
Comprendre le nombre mixte : Un nombre mixte est constitué d’une partie entière et d’une partie fractionnaire. Par exemple, \(2 \frac{1}{2}\) comprend la partie entière \(2\) et la fraction \(\frac{1}{2}\).
Convertir en fraction impropre : Utilisons la formule suivante pour convertir le nombre mixte en une fraction impropre : \[ a \frac{b}{c} = \frac{a \times c + b}{c} \] Où :
Simplifier la fraction : Si possible, simplifiez la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).
Maintenant, appliquons ces étapes à chaque nombre mixte de l’exercice.
\[ 2 \frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} \]
La fraction \(\frac{5}{2}\) est irréductible car le numérateur \(5\) et le dénominateur \(2\) n’ont pas de diviseur commun autre que \(1\).
\[ 4 \frac{3}{4} = \frac{4 \times 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4} \]
La fraction \(\frac{19}{4}\) est irréductible puisque \(19\) et \(4\) sont premiers entre eux.
\[ 5 \frac{3}{7} = \frac{5 \times 7 + 3}{7} = \frac{35 + 3}{7} = \frac{38}{7} \]
La fraction \(\frac{38}{7}\) est irréductible car \(38\) et \(7\) n’ont aucun diviseur commun autre que \(1\).
\[ 3 \frac{2}{3} = \frac{3 \times 3 + 2}{3} = \frac{9 + 2}{3} = \frac{11}{3} \]
La fraction \(\frac{11}{3}\) est irréductible puisque \(11\) et \(3\) sont premiers entre eux.
\[ 6 \frac{5}{6} = \frac{6 \times 6 + 5}{6} = \frac{36 + 5}{6} = \frac{41}{6} \]
La fraction \(\frac{41}{6}\) est irréductible car \(41\) et \(6\) n’ont aucun diviseur commun autre que \(1\).
\[ 1 \frac{1}{5} = \frac{1 \times 5 + 1}{5} = \frac{5 + 1}{5} = \frac{6}{5} \]
La fraction \(\frac{6}{5}\) est irréductible puisqu’il n’existe pas de diviseur commun autre que \(1\) entre \(6\) et \(5\).
Ainsi, toutes les fractions obtenues sont irréductibles et représentent correctement les nombres mixtes initiaux.