Exercice 40

1. Recopiez puis complétez le tableau suivant :

Intervalle ou demi-droite	Représentation graphique	Description : ensemble des nombres \(x\) tels que :
\(I_{1}=\ldots\)		\(-4 < x < 5\)
\(I_{2}=\left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right]\)
\(I_{3}=\ldots\)		\(-3 \leq x \leq 3\)
\(I_{4}=\ldots\)
\(I_{5}=[-2 ; +\alpha[\)
\(I_{6}=]-\alpha ; 3[\)

2. Écrivez ensuite chacune des intersections suivantes sous la forme d’un intervalle ou d’une demi-droite :

1. \(I_{1} \cap I_{2}\)
2. \(I_{4} \cap I_{5}\)
3. \(I_{3} \cap I_{2}\)
4. \(I_{2} \cap I_{3} \cap I_{6}\)
5. \(I_{4} \cap I_{6}\)
6. \(I_{3} \cap I_{4}\)

Réponse

L’exercice a consisté à compléter un tableau d’intervalles \(I_1\) à \(I_6\) et à déterminer leurs intersections. Par exemple, \(I_1 \cap I_2 = \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]\) et \(I_3 \cap I_4 = [2; 3]\). Ces étapes ont permis de mieux comprendre les notions d’intervalles et leurs interactions sur la droite réelle.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question 1. Recopiez puis complétez le tableau suivant :

Intervalle ou demi-droite	Représentation graphique	Description : ensemble des nombres \(x\) tels que :
\(I_{1} = \ldots\)		\(-4 < x < 5\)
\(I_{2} = \left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right]\)		\(-\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2}\)
\(I_{3} = \ldots\)		\(-3 \leq x \leq 3\)
\(I_{4} = \ldots\)		\(\ldots\)
\(I_{5} = [-2 ; +\alpha[\)		\(-2 \leq x < +\alpha\)
\(I_{6} = ]-\alpha ; 3[\)		\(-\alpha < x < 3\)

Étapes de résolution :

1. Compréhension des intervalles :

   • Un intervalle peut être fermé \([a; b]\), ouvert \(]a; b[\), ou semi-ouvert.
   • Une demi-droite est une partie de la droite réelle qui s’étend vers \(+\alpha\) ou \(-\alpha\).

2. Complétion des intervalles manquants :

   • \(I_{1}\) :
     Description donnée : \(-4 < x < 5\).
     Il s’agit d’un intervalle ouvert car les bornes ne sont pas incluses.
     Donc, \(I_{1} = ]-4 ; 5[\).

   • \(I_{3}\) :
     Description donnée : \(-3 \leq x \leq 3\).
     Intervalle fermé car les bornes sont incluses.
     Donc, \(I_{3} = [-3 ; 3]\).

   • \(I_{4}\) :
     Aucune description fournie. Supposons qu’il s’agit d’une demi-droite.
     Par exemple, si \(I_{4}\) est toutes les valeurs supérieures ou égales à 2 :
     \(I_{4} = [2 ; +\alpha[\).

3. Représentation graphique :

   • Pour chaque intervalle ou demi-droite, représenter sur une droite graduée :
     • Un cercle plein \(\bullet\) pour une borne incluse.
     • Un cercle ouvert \(\circ\) pour une borne exclue.
     • Une flèche indique l’extension infinie.

4. Finalisation du tableau :

   • Remplir les cases manquantes avec les informations obtenues.

Question 2. Intersections des intervalles

Pour chaque intersection, nous allons déterminer l’ensemble des \(x\) qui appartiennent simultanément aux intervalles concernés.

1) \(I_{1} \cap I_{2}\)

• Définitions des intervalles :
  • \(I_{1} = ]-4 ; 5[\)
  • \(I_{2} = \left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right]\)
• Intersection :
  • Trouver les nombres \(x\) qui satisfont à la fois \(-4 < x < 5\) et \(-\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2}\).
  • L’intervalle \(I_{2}\) est entièrement contenu dans \(I_{1}\).
• Résultat : \[ I_{1} \cap I_{2} = \left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right] \]

2) \(I_{4} \cap I_{5}\)

• Définitions des intervalles :

  • \(I_{4} = [2 ; +\alpha[\) (supposé)
  • \(I_{5} = [-2 ; +\alpha[\)

• Intersection :

  • Trouver les nombres \(x\) qui satisfont à la fois \(x \geq 2\) et \(-2 \leq x < \alpha\).
  • L’intersection dépend de la valeur de \(\alpha\).

• Cas 1 : Si \(\alpha \leq 2\), alors \(I_{4} \cap I_{5} = \emptyset\) (aucune intersection).

• Cas 2 : Si \(\alpha > 2\), alors : \[ I_{4} \cap I_{5} = [2 ; \alpha[ \]

3) \(I_{3} \cap I_{2}\)

• Définitions des intervalles :
  • \(I_{3} = [-3 ; 3]\)
  • \(I_{2} = \left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right]\)
• Intersection :
  • Trouver les nombres \(x\) qui satisfont à la fois \(-3 \leq x \leq 3\) et \(-\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2}\).
  • L’intervalle \(I_{2}\) est entièrement contenu dans \(I_{3}\).
• Résultat : \[ I_{3} \cap I_{2} = \left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right] \]

4) \(I_{2} \cap I_{3} \cap I_{6}\)

• Définitions des intervalles :
  • \(I_{2} = \left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right]\)
  • \(I_{3} = [-3 ; 3]\)
  • \(I_{6} = ]-\alpha ; 3[\)
• Intersection :
  • Trouver les nombres \(x\) qui satisfont à la fois \(-\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2}\), \(-3 \leq x \leq 3\), et \(-\alpha < x < 3\).
  • L’intersection la plus restrictive est \(\left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right]\), à condition que \(\alpha > \dfrac{1}{2}\).
• Résultat : \[ I_{2} \cap I_{3} \cap I_{6} = \left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right] \] (si \(\alpha > \dfrac{1}{2}\)).

5) \(I_{4} \cap I_{6}\)

• Définitions des intervalles :

  • \(I_{4} = [2 ; +\alpha[\) (supposé)
  • \(I_{6} = ]-\alpha ; 3[\)

• Intersection :

  • Trouver les nombres \(x\) qui satisfont à la fois \(x \geq 2\) et \(-\alpha < x < 3\).
  • L’intersection dépend de la valeur de \(\alpha\).

• Cas 1 : Si \(\alpha \leq 2\), alors \(I_{4} \cap I_{6} = [2 ; 3[\).

• Cas 2 : Si \(\alpha > 2\), alors : \[ I_{4} \cap I_{6} = [2 ; 3[ \] (puisque \(2 < 3\) et \(\alpha > 2\), l’intervalle reste le même).

6) \(I_{3} \cap I_{4}\)

• Définitions des intervalles :
  • \(I_{3} = [-3 ; 3]\)
  • \(I_{4} = [2 ; +\alpha[\) (supposé)
• Intersection :
  • Trouver les nombres \(x\) qui satisfont à la fois \(-3 \leq x \leq 3\) et \(x \geq 2\).
  • L’intervalle commun est \([2 ; 3]\).
• Résultat : \[ I_{3} \cap I_{4} = [2 ; 3] \]

Récapitulatif des Intersections

1. \(I_{1} \cap I_{2} = \left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right]\)
2. \(I_{4} \cap I_{5} = \begin{cases} \emptyset & \text{si } \alpha \leq 2 \\ [2 ; \alpha[ & \text{si } \alpha > 2 \end{cases}\)
3. \(I_{3} \cap I_{2} = \left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right]\)
4. \(I_{2} \cap I_{3} \cap I_{6} = \left[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right]\) (si \(\alpha > \dfrac{1}{2}\))
5. \(I_{4} \cap I_{6} = [2 ; 3[\)
6. \(I_{3} \cap I_{4} = [2 ; 3]\)

Conclusion

Cet exercice permet de manipuler les notions d’intervalles et de demi-droites, ainsi que de comprendre comment déterminer les intersections entre différents ensembles de nombres réels. En suivant les étapes détaillées, il est possible de compléter le tableau et de résoudre les différentes intersections demandées.