Exercice 37
Une somme est partagée entre trois personnes. La première reçoit les \(\dfrac{2}{5}\) de la somme ; la deuxième reçoit les \(\dfrac{2}{3}\) de la part de la première ; la troisième reçoit 100 francs de moins que la première. Quelle est la part de chaque personne ?
Réponse
La somme totale est de 1500 francs.
- Première personne : 600 francs
- Deuxième personne : 400 francs
- Troisième personne : 500 francs
Corrigé détaillé
Correction détaillée de l’exercice
Nous allons résoudre ce problème étape par étape en déterminant la part de chaque personne dans la somme totale.
Énoncé du problème : Une somme est partagée entre trois personnes. - La première reçoit les \(\dfrac{2}{5}\) de la somme. - La deuxième reçoit les \(\dfrac{2}{3}\) de la part de la première. - La troisième reçoit 100 francs de moins que la première.
Nous devons déterminer la part de chaque personne.
Étape 1 : Définir la somme totale
Appelons la somme totale \(S\).
Étape 2 : Calculer la part de la première personne
La première personne reçoit les \(\dfrac{2}{5}\) de la somme totale \(S\).
\[ \text{Part de la première personne} = \dfrac{2}{5}S \]
Étape 3 : Calculer la part de la deuxième personne
La deuxième personne reçoit les \(\dfrac{2}{3}\) de la part de la première personne.
\[ \text{Part de la deuxième personne} = \dfrac{2}{3} \times \left( \dfrac{2}{5}S \right ) = \dfrac{4}{15}S \]
Étape 4 : Calculer la part de la troisième personne
La troisième personne reçoit 100 francs de moins que la première personne.
\[ \text{Part de la troisième personne} = \dfrac{2}{5}S - 100 \]
Étape 5 : Établir l’équation totale
La somme des parts des trois personnes doit être égale à la somme totale \(S\).
\[ \dfrac{2}{5}S + \dfrac{4}{15}S + \left( \dfrac{2}{5}S - 100 \right ) = S \]
Étape 6 : Simplifier l’équation
Additionnons les termes contenant \(S\) :
\[ \dfrac{2}{5}S + \dfrac{4}{15}S + \dfrac{2}{5}S = \left( \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{15} + \dfrac{2}{5} \right )S \]
Pour additionner les fractions, trouvons un dénominateur commun, qui est 15 :
\[ \dfrac{6}{15}S + \dfrac{4}{15}S + \dfrac{6}{15}S = \dfrac{16}{15}S \]
Donc, l’équation devient :
\[ \dfrac{16}{15}S - 100 = S \]
Étape 7 : Isoler \(S\)
Soustrayons \(S\) des deux côtés de l’équation :
\[ \dfrac{16}{15}S - S - 100 = 0 \\ \left( \dfrac{16}{15} - \dfrac{15}{15} \right )S - 100 = 0 \\ \dfrac{1}{15}S - 100 = 0 \]
Ajoutons 100 des deux côtés :
\[ \dfrac{1}{15}S = 100 \]
Multiplions les deux côtés par 15 pour isoler \(S\) :
\[ S = 100 \times 15 \\ S = 1500 \text{ francs} \]
Étape 8 : Déterminer les parts de chaque personne
- Part de la première personne :
\[ \dfrac{2}{5}S = \dfrac{2}{5} \times 1500 = 600 \text{ francs} \]
- Part de la deuxième personne :
\[ \dfrac{4}{15}S = \dfrac{4}{15} \times 1500 = 400 \text{ francs} \]
- Part de la troisième personne :
\[ \dfrac{2}{5}S - 100 = 600 - 100 = 500 \text{ francs} \]
Conclusion :
- La première personne reçoit 600 francs.
- La deuxième personne reçoit 400 francs.
- La troisième personne reçoit 500 francs.
Vérification :
Additionnons les parts pour vérifier que la somme totale est correcte :
\[ 600 + 400 + 500 = 1500 \text{ francs} = S \]
La vérification confirme que les calculs sont corrects.