Vérifiez si la fraction \(-\frac{1}{2}\) est une solution de l’équation suivante :
\[ x^{3} + \frac{5}{2}x^{2} = \frac{1}{2} + 2x - x^{2}. \]
x = –½ n’est pas solution de l’équation car, après substitution, le membre de gauche vaut ½ et le membre de droite –3/4.
Nous voulons vérifier si la valeur x = –½ est une solution de l’équation
x³ + (5/2)x² = ½ + 2x – x².
Pour cela, il faut remplacer x par –½ dans chacun des membres de l’équation et voir si les deux côtés deviennent égaux.
a) Calculez x³ quand x = –½ : x³ = (–½)³ = –(1/2³) = –1/8.
b) Calculez x² quand x = –½ : x² = (–½)² = 1/4.
c) Remplacez dans le membre de gauche : MG = x³ + (5/2)x² = (–1/8) + (5/2) × (1/4).
d) Simplifiez (5/2) × (1/4) : (5/2) × (1/4) = 5/8.
e) Additionnez les deux termes : MG = –1/8 + 5/8 = 4/8 = ½.
a) Remplacez directement x par –½ dans l’expression ½ + 2x – x² : MD = ½ + 2(–½) – (–½)².
b) Calculez 2(–½) : 2(–½) = –1.
c) Calculez (–½)² (rappel : (–½)² = 1/4) : x² = 1/4.
d) Remplacez ces valeurs : MD = ½ – 1 – 1/4.
e) Pour comparer, mettez au même dénominateur : ½ = 2/4 et 1 = 4/4. MD = (2/4) – (4/4) – (1/4) = (2 – 4 – 1)/4 = –3/4.
- Membre de gauche (MG) = ½. - Membre de droite (MD) = –3/4.
Les deux membres ne sont pas égaux (½ ne vaut pas –3/4).
Conclusion : La fraction –½ n’est pas une solution de l’équation donnée.