Effectuez les opérations suivantes et simplifiez les résultats si nécessaire :
Les exercices de mathématiques ont été résolus en trouvant des dénominateurs communs, en factorisant les expressions et en simplifiant les fractions. Chaque opération a abouti à une forme simplifiée claire et correcte.
Voici les corrections détaillées pour chaque opération demandée :
\[ \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 6} - \frac{a^{2} - 6}{a^{2} + 4} \]
Identifier les dénominateurs :
Les deux fractions ont des dénominateurs différents : \[ a^{2} + 6 \quad \text{et} \quad a^{2} + 4 \]
Trouver le dénominateur commun :
Le dénominateur commun est le produit des deux dénominateurs : \[ (a^{2} + 6)(a^{2} + 4) \]
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 6} = \frac{(a^{2} - 4)(a^{2} + 4)}{(a^{2} + 6)(a^{2} + 4)} \] \[ \frac{a^{2} - 6}{a^{2} + 4} = \frac{(a^{2} - 6)(a^{2} + 6)}{(a^{2} + 4)(a^{2} + 6)} \]
Effectuer les soustractions des numérateurs :
\[ \frac{(a^{2} - 4)(a^{2} + 4) - (a^{2} - 6)(a^{2} + 6)}{(a^{2} + 6)(a^{2} + 4)} \]
Développer les produits :
\[ (a^{2} - 4)(a^{2} + 4) = a^{4} - 16 \] \[ (a^{2} - 6)(a^{2} + 6) = a^{4} - 36 \]
Substituer les développements :
\[ \frac{a^{4} - 16 - (a^{4} - 36)}{(a^{2} + 6)(a^{2} + 4)} = \frac{a^{4} - 16 - a^{4} + 36}{(a^{2} + 6)(a^{2} + 4)} \] \[ = \frac{20}{(a^{2} + 6)(a^{2} + 4)} \]
\[ \frac{20}{(a^{2} + 6)(a^{2} + 4)} \]
\[ \frac{2 - 3x}{2 + 3x} - \frac{2 + 3x}{2 - 3x} \]
Simplifier les fractions en reconnaissant que \(2 - 3x = -(3x - 2)\) et \(2 + 3x = 3x + 2\).
Identifier le dénominateur commun :
\[ (2 + 3x)(2 - 3x) \]
Remarque : \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{2 - 3x}{2 + 3x} = \frac{(2 - 3x)(2 - 3x)}{(2 + 3x)(2 - 3x)} = \frac{(2 - 3x)^2}{4 - 9x^2} \] \[ \frac{2 + 3x}{2 - 3x} = \frac{(2 + 3x)(2 + 3x)}{(2 - 3x)(2 + 3x)} = \frac{(2 + 3x)^2}{4 - 9x^2} \]
Effectuer la soustraction des numérateurs :
\[ \frac{(2 - 3x)^2 - (2 + 3x)^2}{4 - 9x^2} \]
Développer les carrés :
\[ (2 - 3x)^2 = 4 - 12x + 9x^2 \] \[ (2 + 3x)^2 = 4 + 12x + 9x^2 \]
Substituer dans l’expression :
\[ \frac{(4 - 12x + 9x^2) - (4 + 12x + 9x^2)}{4 - 9x^2} = \frac{4 - 12x + 9x^2 - 4 - 12x - 9x^2}{4 - 9x^2} \] \[ = \frac{-24x}{4 - 9x^2} \]
Factoriser le numérateur et le dénominateur :
\[ = \frac{-24x}{(2)^2 - (3x)^2} = \frac{-24x}{(2 - 3x)(2 + 3x)} \]
Simplifier le signe négatif :
\[ = \frac{24x}{(3x - 2)(2 + 3x)} = \frac{24x}{(3x - 2)(3x + 2)} \]
\[ \frac{24x}{(3x - 2)(3x + 2)} \]
\[ \frac{x + 3}{x + 2} - \frac{x + 1}{x} \]
Identifier le dénominateur commun :
\[ (x + 2) \times x = x(x + 2) \]
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{(x + 3) \times x}{x(x + 2)} = \frac{x^2 + 3x}{x(x + 2)} \] \[ \frac{x + 1}{x} = \frac{(x + 1)(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{x^2 + 3x + 2}{x(x + 2)} \]
Effectuer la soustraction des numérateurs :
\[ \frac{x^2 + 3x - (x^2 + 3x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{x^2 + 3x - x^2 - 3x - 2}{x(x + 2)} = \frac{-2}{x(x + 2)} \]
\[ \frac{-2}{x(x + 2)} \quad \text{ou} \quad \frac{-2}{x^2 + 2x} \]
\[ \frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{3 - x} \]
Simplifier le deuxième dénominateur :
\[ 3 - x = -(x - 3) \]
Ainsi, \[ \frac{x + 3}{3 - x} = \frac{x + 3}{-(x - 3)} = -\frac{x + 3}{x - 3} \]
Réécrire l’expression initiale :
\[ \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{x + 3}{x - 3} \]
Identifier le dénominateur commun :
\[ (x + 3)(x - 3) \]
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{(x - 3)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{(x - 3)^2}{x^2 - 9} \] \[ \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{(x + 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{(x + 3)^2}{x^2 - 9} \]
Effectuer l’addition des numérateurs (en tenant compte du signe négatif) :
\[ \frac{(x - 3)^2 - (x + 3)^2}{x^2 - 9} \]
Développer les carrés :
\[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] \[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]
Substituer dans l’expression :
\[ \frac{x^2 - 6x + 9 - (x^2 + 6x + 9)}{x^2 - 9} = \frac{x^2 - 6x + 9 - x^2 - 6x - 9}{x^2 - 9} \] \[ = \frac{-12x}{x^2 - 9} \]
Simplifier le résultat :
\[ \frac{-12x}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{12x}{(3 - x)(x + 3)} \]
\[ \frac{-12x}{x^2 - 9} \quad \text{ou} \quad \frac{-12x}{(x + 3)(x - 3)} \]
\[ \frac{x - 2}{x - 3} - \frac{x^{2} - 15}{x^{2} - 9} \]
Factoriser le dénominateur du deuxième terme :
\[ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
\[ x^{2} - 15 = ? \quad \text{(Pas factorisable avec des entiers)} \]
Remarque : \(x^{2} - 15\) ne se factorise pas facilement.
Identifier le dénominateur commun :
\[ (x - 3)(x + 3) \]
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{x - 2}{x - 3} = \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} \] \[ \frac{x^{2} - 15}{x^{2} - 9} = \frac{x^{2} - 15}{(x - 3)(x + 3)} \]
Effectuer la soustraction des numérateurs :
\[ \frac{(x - 2)(x + 3) - (x^{2} - 15)}{(x - 3)(x + 3)} \]
Développer \((x - 2)(x + 3)\) :
\[ (x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6 \]
Substituer dans l’expression :
\[ \frac{x^2 + x - 6 - x^2 + 15}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 9}{(x - 3)(x + 3)} \]
Simplifier le résultat :
\[ \frac{x + 9}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 9}{x^2 - 9} \]
\[ \frac{x + 9}{x^{2} - 9} \]
\[ \frac{1}{x^{2} + 5x + 6} + \frac{x + 1}{x + 2} \]
Factoriser le dénominateur du premier terme :
\[ x^{2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \]
Identifier le dénominateur commun :
\[ (x + 2)(x + 3) \]
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} \] \[ \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} \]
Effectuer l’addition des numérateurs :
\[ \frac{1 + (x + 1)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} \]
Développer \((x + 1)(x + 3)\) :
\[ (x + 1)(x + 3) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3 \]
Substituer dans l’expression :
\[ \frac{1 + x^2 + 4x + 3}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{x^2 + 4x + 4}{(x + 2)(x + 3)} \]
Factoriser le numérateur :
\[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \]
Simplifier la fraction :
\[ \frac{(x + 2)^2}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 3} \quad \text{(en annulant un facteur \(x + 2\))} \]
\[ \frac{x + 2}{x + 3} \]
Chaque exercice a été résolu étape par étape en identifiant les dénominateurs communs, en factorisant les expressions lorsque nécessaire, et en simplifiant les résultats finaux. Assurez-vous de bien suivre chaque étape pour mieux comprendre le processus de simplification des expressions algébriques.