Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat lorsqu’il y a lieu :
Réponses simplifiées :
Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat lorsqu’il y a lieu :
\[ \frac{x}{x+y} + \frac{y}{x+y} \]
Identifiez les dénominateurs communs :
Les deux fractions ont le même dénominateur \(x + y\).
Additionnez les numérateurs :
\[ \frac{x}{x+y} + \frac{y}{x+y} = \frac{x + y}{x + y} \]
Simplifiez la fraction :
\[ \frac{x + y}{x + y} = 1 \]
Réponse simplifiée : \(1\)
Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat lorsqu’il y a lieu :
\[ \frac{x^{2}}{x - y} - \frac{y^{2}}{x - y} \]
Identifiez les dénominateurs communs :
Les deux fractions ont le même dénominateur \(x - y\).
Soustrayez les numérateurs :
\[ \frac{x^{2}}{x - y} - \frac{y^{2}}{x - y} = \frac{x^{2} - y^{2}}{x - y} \]
Factorisez le numérateur :
Le numérateur \(x^{2} - y^{2}\) est une différence de carrés, que l’on peut factoriser ainsi :
\[ x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) \]
Simplifiez la fraction :
\[ \frac{(x - y)(x + y)}{x - y} = x + y \]
Réponse simplifiée : \(x + y\)
Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat lorsqu’il y a lieu :
\[ \frac{a}{a - b} - \frac{b}{b - a} \]
Réécrivez le deuxième dénominateur :
Remarquez que \(b - a = - (a - b)\). Ainsi,
\[ \frac{b}{b - a} = \frac{b}{- (a - b)} = -\frac{b}{a - b} \]
Substituez dans l’expression initiale :
\[ \frac{a}{a - b} - \frac{b}{b - a} = \frac{a}{a - b} + \frac{b}{a - b} \]
Additionnez les numérateurs :
\[ \frac{a + b}{a - b} \]
Réponse simplifiée : \(\frac{a + b}{a - b}\)
Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat lorsqu’il y a lieu :
\[ \frac{x^{2}}{x - y} - \frac{y^{2}}{y - x} - \frac{2xy}{x - y} \]
Réécrivez le deuxième dénominateur :
Remarquez que \(y - x = - (x - y)\). Ainsi,
\[ \frac{y^{2}}{y - x} = \frac{y^{2}}{- (x - y)} = -\frac{y^{2}}{x - y} \]
Substituez dans l’expression initiale :
\[ \frac{x^{2}}{x - y} - \frac{y^{2}}{y - x} - \frac{2xy}{x - y} = \frac{x^{2}}{x - y} + \frac{y^{2}}{x - y} - \frac{2xy}{x - y} \]
Additionnez les numérateurs :
\[ \frac{x^{2} + y^{2} - 2xy}{x - y} \]
Factorisez le numérateur :
Le numérateur \(x^{2} + y^{2} - 2xy\) est égal à \((x - y)^{2}\).
\[ \frac{(x - y)^{2}}{x - y} = x - y \]
Réponse simplifiée : \(x - y\)
Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat lorsqu’il y a lieu :
\[ \frac{5x + y}{2x + 2y} + \frac{3y - x}{2x + 2y} \]
Identifiez les dénominateurs communs :
Les deux fractions ont le même dénominateur \(2x + 2y\).
Additionnez les numérateurs :
\[ \frac{5x + y + 3y - x}{2x + 2y} = \frac{4x + 4y}{2x + 2y} \]
Factorisez le numérateur et le dénominateur :
\[ 4x + 4y = 4(x + y) \]
\[ 2x + 2y = 2(x + y) \]
Simplifiez la fraction :
\[ \frac{4(x + y)}{2(x + y)} = \frac{4}{2} = 2 \]
Réponse simplifiée : \(2\)
Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat lorsqu’il y a lieu :
\[ \frac{x^{2} - 1}{x - 3} - \frac{4x + 3}{x - 3} - \frac{1 + 2x}{3 - x} \]
Réécrivez le troisième dénominateur :
Remarquez que \(3 - x = - (x - 3)\). Ainsi,
\[ \frac{1 + 2x}{3 - x} = \frac{1 + 2x}{- (x - 3)} = -\frac{1 + 2x}{x - 3} \]
Substituez dans l’expression initiale :
\[ \frac{x^{2} - 1}{x - 3} - \frac{4x + 3}{x - 3} - \frac{1 + 2x}{3 - x} = \frac{x^{2} - 1}{x - 3} - \frac{4x + 3}{x - 3} + \frac{-1 - 2x}{x - 3} \]
Combinez les fractions :
\[ \frac{x^{2} - 1 - (4x + 3) - (1 + 2x)}{x - 3} = \frac{x^{2} - 1 - 4x - 3 - 1 - 2x}{x - 3} \]
Simplifiez le numérateur :
\[ x^{2} - 1 - 4x - 3 - 1 - 2x = x^{2} - 6x - 5 \]
Factorisez le numérateur :
Cherchons deux nombres dont le produit est \(-5\) et la somme est \(-6\). Ces nombres sont \(-5\) et \(-1\).
\[ x^{2} - 6x - 5 = (x - 5)(x - 1) \]
Écrivez la fraction simplifiée :
\[ \frac{(x - 5)(x - 1)}{x - 3} \]
Comme \(x - 5\) et \(x - 1\) ne se simplifient pas avec \(x - 3\), la fraction reste telle quelle.
Réponse simplifiée : \(\frac{x^{2} - 6x - 5}{x - 3}\) ou \(\frac{(x - 5)(x - 1)}{x - 3}\)