Effectuez les opérations suivantes et simplifiez le résultat si nécessaire :
\(\frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{2}} - \frac{2 y^{2} - x^{2}}{4 y^{2}}\)
\(\frac{2a + b}{2a} - \frac{b - 2a}{b}\)
\(\frac{2a - c}{4 a c} - \frac{b - c}{2 b c}\)
\(\frac{2x + y}{2xy} - \frac{y + 3x}{3xy}\)
\(\frac{1}{2xy} - \frac{2x - y}{y} - \frac{y + 2x}{2x}\)
\(\frac{4x - 1}{2x} - \frac{8x^{2} - 10}{5x^{2}} - \frac{2}{5}\)
Exercice 1 : \[ \frac{x^{4} - 2 y^{4}}{4 x^{2} y^{2}} \]
Exercice 2 : \[ \frac{4a^{2} + b^{2}}{2ab} \]
Exercice 3 : \[ \frac{2a - b}{4ab} \]
Exercice 4 : \[ \frac{1}{6x} \]
Exercice 5 : \[ \frac{1 - y^{2} - 4x^{2}}{2xy} \]
Exercice 6 : \[ \frac{4 - x}{2x^{2}} \]
Question :
\[ \frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{2}} - \frac{2 y^{2} - x^{2}}{4 y^{2}} \]
Étapes de résolution :
Simplification des fractions :
Commençons par simplifier chaque fraction séparément.
\[ \frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} - \frac{y^{2}}{2 x^{2}} = \frac{1}{2} - \frac{y^{2}}{2 x^{2}} \]
\[ \frac{2 y^{2} - x^{2}}{4 y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{4 y^{2}} - \frac{x^{2}}{4 y^{2}} = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{4 y^{2}} \]
Soustraction des deux fractions :
\[ \left( \frac{1}{2} - \frac{y^{2}}{2 x^{2}} \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{4 y^{2}} \right) = \frac{1}{2} - \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - \frac{1}{2} + \frac{x^{2}}{4 y^{2}} = - \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{x^{2}}{4 y^{2}} \]
Mise au même dénominateur :
Le dénominateur commun pour les deux termes est \(4 x^{2} y^{2}\).
\[ - \frac{y^{2}}{2 x^{2}} = - \frac{2 y^{2}}{4 x^{2}} \]
\[ \frac{x^{2}}{4 y^{2}} = \frac{x^{2}}{4 y^{2}} \]
Ainsi,
\[ - \frac{2 y^{2}}{4 x^{2}} + \frac{x^{2}}{4 y^{2}} = \frac{x^{4} - 2 y^{4}}{4 x^{2} y^{2}} \]
Simplification finale :
\[ \frac{x^{4} - 2 y^{4}}{4 x^{2} y^{2}} \]
Réponse :
\[ \frac{x^{4} - 2 y^{4}}{4 x^{2} y^{2}} \]
Question :
\[ \frac{2a + b}{2a} - \frac{b - 2a}{b} \]
Étapes de résolution :
Simplification des fractions :
Simplifions chaque fraction séparément.
\[ \frac{2a + b}{2a} = \frac{2a}{2a} + \frac{b}{2a} = 1 + \frac{b}{2a} \]
\[ \frac{b - 2a}{b} = \frac{b}{b} - \frac{2a}{b} = 1 - \frac{2a}{b} \]
Soustraction des deux fractions :
\[ \left(1 + \frac{b}{2a}\right) - \left(1 - \frac{2a}{b}\right) = 1 + \frac{b}{2a} - 1 + \frac{2a}{b} = \frac{b}{2a} + \frac{2a}{b} \]
Mise au même dénominateur :
Le dénominateur commun est \(2ab\).
\[ \frac{b}{2a} = \frac{b^{2}}{2ab}, \quad \frac{2a}{b} = \frac{4a^{2}}{2ab} \]
Ainsi,
\[ \frac{b^{2} + 4a^{2}}{2ab} \]
Simplification finale :
\[ \frac{4a^{2} + b^{2}}{2ab} \]
Réponse :
\[ \frac{4a^{2} + b^{2}}{2ab} \]
Question :
\[ \frac{2a - c}{4 a c} - \frac{b - c}{2 b c} \]
Étapes de résolution :
Simplification des fractions :
Trouvons un dénominateur commun pour les deux fractions, qui est \(4abc\).
Réécriture des fractions avec le même dénominateur :
\[ \frac{2a - c}{4ac} = \frac{(2a - c) \cdot b}{4abc} = \frac{b(2a - c)}{4abc} \]
\[ \frac{b - c}{2bc} = \frac{(b - c) \cdot 2a}{4abc} = \frac{2a(b - c)}{4abc} \]
Soustraction des deux fractions :
\[ \frac{b(2a - c)}{4abc} - \frac{2a(b - c)}{4abc} = \frac{2ab - bc - 2ab + 2ac}{4abc} = \frac{-bc + 2ac}{4abc} \]
Factorisation du numérateur :
\[ -bc + 2ac = c(-b + 2a) = c(2a - b) \]
Simplification finale :
\[ \frac{c(2a - b)}{4abc} = \frac{2a - b}{4ab} \]
Réponse :
\[ \frac{2a - b}{4ab} \]
Question :
\[ \frac{2x + y}{2xy} - \frac{y + 3x}{3xy} \]
Étapes de résolution :
Simplification des fractions :
Réécrivons chaque fraction en séparant les termes.
\[ \frac{2x + y}{2xy} = \frac{2x}{2xy} + \frac{y}{2xy} = \frac{1}{y} + \frac{1}{2x} \]
\[ \frac{y + 3x}{3xy} = \frac{y}{3xy} + \frac{3x}{3xy} = \frac{1}{3x} + \frac{1}{y} \]
Soustraction des deux fractions :
\[ \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{2x} \right) - \left( \frac{1}{3x} + \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{y} + \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x} \]
Les termes \(\frac{1}{y}\) s’annulent.
Calcul de la différence :
\[ \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x} = \frac{3 - 2}{6x} = \frac{1}{6x} \]
Réponse :
\[ \frac{1}{6x} \]
Question :
\[ \frac{1}{2xy} - \frac{2x - y}{y} - \frac{y + 2x}{2x} \]
Étapes de résolution :
Simplification des fractions :
Simplifions chaque terme séparément.
\[ \frac{2x - y}{y} = \frac{2x}{y} - \frac{y}{y} = \frac{2x}{y} - 1 \]
\[ \frac{y + 2x}{2x} = \frac{y}{2x} + \frac{2x}{2x} = \frac{y}{2x} + 1 \]
Remplacement dans l’expression initiale :
\[ \frac{1}{2xy} - \left( \frac{2x}{y} - 1 \right) - \left( \frac{y}{2x} + 1 \right) = \frac{1}{2xy} - \frac{2x}{y} + 1 - \frac{y}{2x} - 1 \]
Les termes \(+1\) et \(-1\) s’annulent, il reste :
\[ \frac{1}{2xy} - \frac{2x}{y} - \frac{y}{2x} \]
Mise au même dénominateur :
Le dénominateur commun est \(2xy\).
\[ \frac{1}{2xy} = \frac{1}{2xy} \]
\[ -\frac{2x}{y} = -\frac{4x^{2}}{2xy} \]
\[ -\frac{y}{2x} = -\frac{y^{2}}{2xy} \]
Ainsi,
\[ \frac{1 - 4x^{2} - y^{2}}{2xy} \]
Simplification finale :
\[ \frac{1 - y^{2} - 4x^{2}}{2xy} \]
Réponse :
\[ \frac{1 - y^{2} - 4x^{2}}{2xy} \]
Question :
\[ \frac{4x - 1}{2x} - \frac{8x^{2} - 10}{5x^{2}} - \frac{2}{5} \]
Étapes de résolution :
Simplification des fractions :
Commençons par simplifier chaque fraction.
\[ \frac{4x - 1}{2x} = \frac{4x}{2x} - \frac{1}{2x} = 2 - \frac{1}{2x} \]
\[ \frac{8x^{2} - 10}{5x^{2}} = \frac{8x^{2}}{5x^{2}} - \frac{10}{5x^{2}} = \frac{8}{5} - \frac{2}{x^{2}} \]
\[ \frac{2}{5} \quad \text{reste tel quel.} \]
Remplacement dans l’expression initiale :
\[ 2 - \frac{1}{2x} - \left( \frac{8}{5} - \frac{2}{x^{2}} \right) - \frac{2}{5} = 2 - \frac{1}{2x} - \frac{8}{5} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{5} \]
Combinaison des termes constants :
\[ 2 - \frac{8}{5} - \frac{2}{5} = 2 - 2 = 0 \]
Il reste donc :
\[ - \frac{1}{2x} + \frac{2}{x^{2}} \]
Mise au même dénominateur :
Le dénominateur commun est \(2x^{2}\).
\[ -\frac{1}{2x} = -\frac{x}{2x^{2}} \]
\[ \frac{2}{x^{2}} = \frac{4}{2x^{2}} \]
Ainsi,
\[ -\frac{x}{2x^{2}} + \frac{4}{2x^{2}} = \frac{-x + 4}{2x^{2}} = \frac{4 - x}{2x^{2}} \]
Simplification finale :
\[ \frac{4 - x}{2x^{2}} \]
Réponse :
\[ \frac{4 - x}{2x^{2}} \]