Effectuez les opérations suivantes et simplifiez le résultat, si nécessaire :
\(\dfrac{x + y}{2xy}\)
\(\dfrac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} y^{2}}\)
\(\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y}\)
\(\dfrac{b(b - a^{2})}{a}\)
\(\dfrac{-2x + 9}{3x^{2}}\)
\(\dfrac{4y^{2} - 3x}{6xy}\)
Étape 1 : Identifier le dénominateur commun.
Les deux fractions ont pour dénominateur \(2x\) et \(2y\). Le dénominateur commun est le produit des deux, soit \(2xy\).
Étape 2 : Mettre chaque fraction sur le dénominateur commun.
\[ \dfrac{1}{2x} = \dfrac{y}{2xy} \] \[ \dfrac{1}{2y} = \dfrac{x}{2xy} \]
Étape 3 : Additionner les fractions.
\[ \dfrac{y}{2xy} + \dfrac{x}{2xy} = \dfrac{x + y}{2xy} \]
Réponse simplifiée :
\[ \dfrac{x + y}{2xy} \]
Étape 1 : Identifier le dénominateur commun.
Les dénominateurs sont \(y^{2}\) et \(x^{2}\). Le dénominateur commun est \(x^{2}y^{2}\).
Étape 2 : Mettre chaque fraction sur le dénominateur commun.
\[ \dfrac{x}{y^{2}} = \dfrac{x \cdot x^{2}}{x^{2} y^{2}} = \dfrac{x^{3}}{x^{2} y^{2}} \] \[ \dfrac{y}{x^{2}} = \dfrac{y \cdot y^{2}}{x^{2} y^{2}} = \dfrac{y^{3}}{x^{2} y^{2}} \]
Étape 3 : Additionner les fractions.
\[ \dfrac{x^{3}}{x^{2} y^{2}} + \dfrac{y^{3}}{x^{2} y^{2}} = \dfrac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} y^{2}} \]
Réponse simplifiée :
\[ \dfrac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} y^{2}} \]
Étape 1 : Simplifier chaque fraction.
\[ \dfrac{2x}{x^{2}} = \dfrac{2}{x} \] \[ \dfrac{3y}{y^{2}} = \dfrac{3}{y} \]
Étape 2 : Additionner les résultats.
\[ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} \]
Réponse simplifiée :
\[ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} \]
Étape 1 : Écrire \(ab\) sous forme de fraction avec le même dénominateur.
\[ ab = \dfrac{ab \cdot a}{a} = \dfrac{a^{2}b}{a} \]
Étape 2 : Soustraire les deux fractions.
\[ \dfrac{b^{2}}{a} - \dfrac{a^{2}b}{a} = \dfrac{b^{2} - a^{2}b}{a} \]
Étape 3 : Factoriser le numérateur si possible.
\[ b^{2} - a^{2}b = b(b - a^{2}) \]
Réponse simplifiée :
\[ \dfrac{b(b - a^{2})}{a} \]
Étape 1 : Identifier le dénominateur commun.
Les dénominateurs sont \(3x\), \(x\) et \(x^{2}\). Le dénominateur commun est \(3x^{2}\).
Étape 2 : Mettre chaque fraction sur le dénominateur commun.
\[ \dfrac{1}{3x} = \dfrac{x}{3x^{2}} \] \[ \dfrac{1}{x} = \dfrac{3x}{3x^{2}} \] \[ \dfrac{3}{x^{2}} = \dfrac{9}{3x^{2}} \]
Étape 3 : Effectuer les opérations.
\[ \dfrac{x}{3x^{2}} - \dfrac{3x}{3x^{2}} + \dfrac{9}{3x^{2}} = \dfrac{x - 3x + 9}{3x^{2}} = \dfrac{-2x + 9}{3x^{2}} \]
Réponse simplifiée :
\[ \dfrac{-2x + 9}{3x^{2}} \]
Étape 1 : Simplifier chaque fraction.
\[ \dfrac{5x}{2xy} = \dfrac{5}{2y} \] \[ \dfrac{2y}{3x} = \dfrac{2y}{3x} \] \[ \dfrac{3y}{y^{2}} = \dfrac{3}{y} \]
Étape 2 : Réécrire l’expression simplifiée.
\[ \dfrac{5}{2y} + \dfrac{2y}{3x} - \dfrac{3}{y} \]
Étape 3 : Trouver un dénominateur commun pour combiner les fractions.
Le dénominateur commun entre \(2y\), \(3x\) et \(y\) est \(6xy\).
Étape 4 : Mettre chaque terme sur le dénominateur commun.
\[ \dfrac{5}{2y} = \dfrac{5 \cdot 3x}{6xy} = \dfrac{15x}{6xy} \] \[ \dfrac{2y}{3x} = \dfrac{2y \cdot 2y}{6xy} = \dfrac{4y^{2}}{6xy} \] \[ -\dfrac{3}{y} = -\dfrac{3 \cdot 6x}{6xy} = -\dfrac{18x}{6xy} \]
Étape 5 : Additionner les termes.
\[ \dfrac{15x}{6xy} + \dfrac{4y^{2}}{6xy} - \dfrac{18x}{6xy} = \dfrac{15x + 4y^{2} - 18x}{6xy} = \dfrac{-3x + 4y^{2}}{6xy} \]
Réponse simplifiée :
\[ \dfrac{4y^{2} - 3x}{6xy} \]