Exercice 30

Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat si nécessaire :

1. \(\dfrac{1}{x} + y\)

2. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)

3. \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}\)

4. \(\dfrac{xy}{3x} + \dfrac{xy}{3y}\)

5. \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} - 2\)

6. \(\dfrac{x}{yz} + \dfrac{y}{xz} + \dfrac{z}{xy}\)

Réponse

Résumé des corrections des exercices :

1. \(\dfrac{1}{x} + y = \boxed{\dfrac{1 + xy}{x}}\)

2. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \boxed{\dfrac{x + y}{xy}}\)

3. \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \boxed{\dfrac{x^2 + y^2}{xy}}\)

4. \(\dfrac{xy}{3x} + \dfrac{xy}{3y} = \boxed{\dfrac{x + y}{3}}\)

5. \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} - 2 = \boxed{\dfrac{(x - y)^2}{xy}}\)

6. \(\dfrac{x}{yz} + \dfrac{y}{xz} + \dfrac{z}{xy} = \boxed{\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{xyz}}\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices

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1) \(\dfrac{1}{x} + y\)

Étapes de résolution :

1. Identifier les termes :

   • \(\dfrac{1}{x}\) est une fraction avec \(x\) au dénominateur.
   • \(y\) est une variable à part entière.

2. Réécrire les termes avec un dénominateur commun :

   • Pour additionner les deux termes, il faut les exprimer sur le même dénominateur.
   • Le dénominateur commun est \(x\).

3. Exprimer \(y\) avec \(x\) comme dénominateur : \[ y = \dfrac{y \cdot x}{x} = \dfrac{xy}{x} \]

4. Additionner les deux fractions : \[ \dfrac{1}{x} + \dfrac{xy}{x} = \dfrac{1 + xy}{x} \]

Résultat simplifié : \[ \boxed{ \dfrac{1 + xy}{x} } \]

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2) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)

Étapes de résolution :

1. Trouver le dénominateur commun :

   • Les dénominateurs sont \(x\) et \(y\).
   • Le dénominateur commun est \(xy\).

2. Exprimer chaque fraction avec le dénominateur commun : \[ \dfrac{1}{x} = \dfrac{y}{xy}, \quad \dfrac{1}{y} = \dfrac{x}{xy} \]

3. Additionner les deux fractions : \[ \dfrac{y}{xy} + \dfrac{x}{xy} = \dfrac{y + x}{xy} = \dfrac{x + y}{xy} \]

Résultat simplifié : \[ \boxed{ \dfrac{x + y}{xy} } \]

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3) \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}\)

Étapes de résolution :

1. Trouver le dénominateur commun :

   • Les dénominateurs sont \(y\) et \(x\).
   • Le dénominateur commun est \(xy\).

2. Exprimer chaque fraction avec le dénominateur commun : \[ \dfrac{x}{y} = \dfrac{x \cdot x}{xy} = \dfrac{x^2}{xy}, \quad \dfrac{y}{x} = \dfrac{y \cdot y}{xy} = \dfrac{y^2}{xy} \]

3. Additionner les deux fractions : \[ \dfrac{x^2}{xy} + \dfrac{y^2}{xy} = \dfrac{x^2 + y^2}{xy} \]

Résultat simplifié : \[ \boxed{ \dfrac{x^2 + y^2}{xy} } \]

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4) \(\dfrac{xy}{3x} + \dfrac{xy}{3y}\)

Étapes de résolution :

1. Simplifier chaque fraction :
   • Pour \(\dfrac{xy}{3x}\), on peut simplifier en annulant \(x\) au numérateur et au dénominateur: \[ \dfrac{xy}{3x} = \dfrac{y}{3} \]
   • Pour \(\dfrac{xy}{3y}\), on peut simplifier en annulant \(y\) au numérateur et au dénominateur: \[ \dfrac{xy}{3y} = \dfrac{x}{3} \]
2. Additionner les deux résultats simplifiés : \[ \dfrac{y}{3} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{y + x}{3} = \dfrac{x + y}{3} \]

Résultat simplifié : \[ \boxed{ \dfrac{x + y}{3} } \]

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5) \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} - 2\)

Étapes de résolution :

1. Trouver le dénominateur commun pour les deux premières fractions :

   • Le dénominateur commun est \(xy\).

2. Exprimer chaque fraction avec le dénominateur commun : \[ \dfrac{x}{y} = \dfrac{x^2}{xy}, \quad \dfrac{y}{x} = \dfrac{y^2}{xy} \]

3. Additionner les deux fractions : \[ \dfrac{x^2}{xy} + \dfrac{y^2}{xy} = \dfrac{x^2 + y^2}{xy} \]

4. Incorporer le terme \(-2\) en l’exprimant avec le même dénominateur : \[ 2 = \dfrac{2xy}{xy} \]

5. Effectuer la soustraction : \[ \dfrac{x^2 + y^2}{xy} - \dfrac{2xy}{xy} = \dfrac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} = \dfrac{(x - y)^2}{xy} \]

Résultat simplifié : \[ \boxed{ \dfrac{(x - y)^2}{xy} } \]

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6) \(\dfrac{x}{yz} + \dfrac{y}{xz} + \dfrac{z}{xy}\)

Étapes de résolution :

1. Identifier le dénominateur commun :

   • Les dénominateurs sont \(yz\), \(xz\), et \(xy\).
   • Le dénominateur commun est \(xyz\).

2. Exprimer chaque fraction avec le dénominateur commun : \[ \dfrac{x}{yz} = \dfrac{x \cdot x}{xyz} = \dfrac{x^2}{xyz}, \quad \dfrac{y}{xz} = \dfrac{y \cdot y}{xyz} = \dfrac{y^2}{xyz}, \quad \dfrac{z}{xy} = \dfrac{z \cdot z}{xyz} = \dfrac{z^2}{xyz} \]

3. Additionner les trois fractions : \[ \dfrac{x^2}{xyz} + \dfrac{y^2}{xyz} + \dfrac{z^2}{xyz} = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{xyz} \]

Résultat simplifié : \[ \boxed{ \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{xyz} } \]

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Ces corrections détaillées vous montrent comment manipuler les fractions algébriques et simplifier les résultats en utilisant des dénominateurs communs et en effectuant les opérations nécessaires. N’hésitez pas à revoir chaque étape pour bien comprendre le processus de simplification.