Simplifie autant que possible chacune des expressions suivantes :
\(\dfrac{x-2}{2} - \dfrac{3x-4}{4}\)
\(\left(\dfrac{1}{2} a b^{2}\right) \cdot \left(6x^{2} + \dfrac{1}{2} a\right)^{2}\)
\(\dfrac{x^{2} - 10x + 9}{x^{2} - 18x + 81} : \dfrac{3x - 3}{x^{2} - 81}\)
\((2x - 1)^{2} \cdot (2x + x)^{3}\)
\(\dfrac{x^{2} + 2x}{x^{2} - 1} \cdot \dfrac{x^{2} + 2x + 1}{x^{3} + 2x^{2}}\)
\(\dfrac{1}{3} \cdot (2x - 5) + \dfrac{1}{5} \cdot (-2x + 1) - \dfrac{1}{9} \cdot (4x - 6)\)
Exercice 1 : \[ -\dfrac{x}{4} \]
Exercice 2 : \[ 18a b^{2} x^{4} + 3a^{2} b^{2} x^{2} + \dfrac{1}{8}a^{3} b^{2} \]
Exercice 3 : \[ \dfrac{x + 9}{3(x - 9)} \]
Exercice 4 : \[ 108x^{5} - 108x^{4} + 27x^{3} \]
Exercice 5 : \[ \dfrac{x + 1}{x(x - 1)} \]
Exercice 6 : \[ -\dfrac{8x}{45} - \dfrac{4}{5} \]
Simplifie autant que possible l’expression suivante : \[ \dfrac{x-2}{2} - \dfrac{3x-4}{4} \]
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Les dénominateurs sont 2 et 4. Le plus petit commun multiple (PPCM) de 2 et 4 est 4.
Étape 2 : Mettre chaque fraction au même dénominateur
\[ \dfrac{x - 2}{2} = \dfrac{(x - 2) \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{2x - 4}{4} \]
\[ \dfrac{3x - 4}{4} \text{ reste inchangé} \]
Étape 3 : Soustraire les fractions
\[ \dfrac{2x - 4}{4} - \dfrac{3x - 4}{4} = \dfrac{(2x - 4) - (3x - 4)}{4} \]
Étape 4 : Simplifier le numérateur
\[ (2x - 4) - (3x - 4) = 2x - 4 - 3x + 4 = (2x - 3x) + (-4 + 4) = -x + 0 = -x \]
Étape 5 : Résultat final
\[ \dfrac{-x}{4} = -\dfrac{x}{4} \]
Réponse simplifiée : \[ -\dfrac{x}{4} \]
Simplifie autant que possible l’expression suivante : \[ \left(\dfrac{1}{2} a b^{2}\right) \cdot \left(6x^{2} + \dfrac{1}{2} a\right)^{2} \]
Étape 1 : Développer le carré
Calculons \(\left(6x^{2} + \dfrac{1}{2} a\right)^{2}\) en utilisant la formule \((p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2\), où \(p = 6x^{2}\) et \(q = \dfrac{1}{2} a\).
\[ \left(6x^{2}\right)^{2} + 2 \times 6x^{2} \times \dfrac{1}{2} a + \left(\dfrac{1}{2} a\right)^{2} = 36x^{4} + 6x^{2}a + \dfrac{1}{4}a^{2} \]
Étape 2 : Multiplier par \(\dfrac{1}{2} a b^{2}\)
\[ \dfrac{1}{2} a b^{2} \cdot \left(36x^{4} + 6x^{2}a + \dfrac{1}{4}a^{2}\right) = \dfrac{1}{2} a b^{2} \times 36x^{4} + \dfrac{1}{2} a b^{2} \times 6x^{2}a + \dfrac{1}{2} a b^{2} \times \dfrac{1}{4}a^{2} \]
Étape 3 : Effectuer les multiplications
\[ = 18a b^{2} x^{4} + 3a^{2} b^{2} x^{2} + \dfrac{1}{8}a^{3} b^{2} \]
Réponse simplifiée : \[ 18a b^{2} x^{4} + 3a^{2} b^{2} x^{2} + \dfrac{1}{8}a^{3} b^{2} \]
Simplifie autant que possible l’expression suivante : \[ \dfrac{x^{2} - 10x + 9}{x^{2} - 18x + 81} : \dfrac{3x - 3}{x^{2} - 81} \]
Étape 1 : Réécrire la division comme une multiplication par l’inverse
\[ \dfrac{x^{2} - 10x + 9}{x^{2} - 18x + 81} \div \dfrac{3x - 3}{x^{2} - 81} = \dfrac{x^{2} - 10x + 9}{x^{2} - 18x + 81} \times \dfrac{x^{2} - 81}{3x - 3} \]
Étape 2 : Factoriser les expressions
\[ x^{2} - 10x + 9 = (x - 1)(x - 9) \]
\[ x^{2} - 18x + 81 = (x - 9)^2 \]
\[ x^{2} - 81 = (x - 9)(x + 9) \]
\[ 3x - 3 = 3(x - 1) \]
Étape 3 : Substituer les factorisations dans l’expression
\[ \dfrac{(x - 1)(x - 9)}{(x - 9)^2} \times \dfrac{(x - 9)(x + 9)}{3(x - 1)} \]
Étape 4 : Simplifier en annulant les termes communs
\[ \dfrac{1}{x - 9} \times \dfrac{x + 9}{3} = \dfrac{x + 9}{3(x - 9)} \]
Étape 5 : Simplifier davantage si possible
On peut factoriser le numérateur :
\[ x + 9 = (x - 9) + 18 \]
Cependant, il n’y a pas de simplification supplémentaire possible.
Réponse simplifiée : \[ \dfrac{x + 9}{3(x - 9)} \]
Simplifie autant que possible l’expression suivante : \[ (2x - 1)^{2} \cdot (2x + x)^{3} \]
Étape 1 : Simplifier les expressions à l’intérieur des parenthèses
\[ 2x + x = 3x \]
Donc l’expression devient :
\[ (2x - 1)^2 \cdot (3x)^3 \]
Étape 2 : Calculer les puissances
\[ (3x)^3 = 27x^3 \]
\[ (2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1 \]
Étape 3 : Multiplier les deux expressions
\[ (4x^2 - 4x + 1) \cdot 27x^3 = 27x^3 \cdot 4x^2 + 27x^3 \cdot (-4x) + 27x^3 \cdot 1 \]
\[ = 108x^5 - 108x^4 + 27x^3 \]
Réponse simplifiée : \[ 108x^5 - 108x^4 + 27x^3 \]
Simplifie autant que possible l’expression suivante : \[ \dfrac{x^{2} + 2x}{x^{2} - 1} \cdot \dfrac{x^{2} + 2x + 1}{x^{3} + 2x^{2}} \]
Étape 1 : Factoriser les expressions
Étape 2 : Substituer les factorisations dans l’expression
\[ \dfrac{x(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \dfrac{(x + 1)^2}{x^{2}(x + 2)} \]
Étape 3 : Simplifier en annulant les termes communs
\[ \dfrac{1}{(x - 1)} \cdot \dfrac{x + 1}{x} = \dfrac{x + 1}{x(x - 1)} \]
Réponse simplifiée : \[ \dfrac{x + 1}{x(x - 1)} \]
Simplifie autant que possible l’expression suivante : \[ \dfrac{1}{3} \cdot (2x - 5) + \dfrac{1}{5} \cdot (-2x + 1) - \dfrac{1}{9} \cdot (4x - 6) \]
Étape 1 : Distribuer les coefficients dans chaque terme
\[ \dfrac{1}{3} \cdot (2x - 5) = \dfrac{2x}{3} - \dfrac{5}{3} \]
\[ \dfrac{1}{5} \cdot (-2x + 1) = -\dfrac{2x}{5} + \dfrac{1}{5} \]
\[ -\dfrac{1}{9} \cdot (4x - 6) = -\dfrac{4x}{9} + \dfrac{6}{9} = -\dfrac{4x}{9} + \dfrac{2}{3} \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires
Les termes en \(x\) : \[ \dfrac{2x}{3} - \dfrac{2x}{5} - \dfrac{4x}{9} \]
Les constantes : \[ -\dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} \]
Étape 3 : Calculer les coefficients de \(x\)
Trouvons le dénominateur commun des fractions \(\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{2}{5}\), et \(\dfrac{4}{9}\), qui est 45.
\[ \dfrac{2}{3} = \dfrac{30}{45}, \quad \dfrac{2}{5} = \dfrac{18}{45}, \quad \dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{45} \]
\[ \dfrac{30}{45}x - \dfrac{18}{45}x - \dfrac{20}{45}x = \left(30 - 18 - 20\right)\dfrac{x}{45} = (-8)\dfrac{x}{45} = -\dfrac{8x}{45} \]
Étape 4 : Calculer les constantes
Trouvons le dénominateur commun des fractions \(-\dfrac{5}{3}\), \(\dfrac{1}{5}\), et \(\dfrac{2}{3}\), qui est 15.
\[ -\dfrac{5}{3} = -\dfrac{25}{15}, \quad \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}, \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15} \]
\[ -\dfrac{25}{15} + \dfrac{3}{15} + \dfrac{10}{15} = \dfrac{-25 + 3 + 10}{15} = \dfrac{-12}{15} = -\dfrac{4}{5} \]
Étape 5 : Assembler les résultats
\[ -\dfrac{8x}{45} - \dfrac{4}{5} \]
Réponse simplifiée : \[ -\dfrac{8x}{45} - \dfrac{4}{5} \]