Exercice 28

Effectuez les divisions suivantes et donnez le résultat sous une forme aussi simple que possible :

1. \(\left(x^{2} - y^{2}\right) \div \dfrac{x - y}{x + y}\)

2. \(\dfrac{a^{2} - 2ab}{x - y} \div \dfrac{a^{2}}{x^{2} - y^{2}}\)

3. \(\dfrac{1 - a^{2}}{3a} \div \dfrac{a^{2} + 2a + 1}{2a + 2}\)

4. \(\dfrac{a^{2} - 16}{3a + 6} \div \dfrac{a^{2} - 2a - 8}{2a + 4}\)

5. \(\dfrac{4x^{2} - 1}{4x - 1} \div \dfrac{1 - 2x}{16x^{2} - 1}\)

6. \(\dfrac{xy + 2y^{2}}{14x - 7y} \div \dfrac{2x^{2} - 8y^{2}}{16x^{2} - 4y^{2}}\)

Réponse

Voici la version très courte des réponses :

Exercice 1 : (x + y)²
Exercice 2 : ((a – 2b)(x + y))/a
Exercice 3 : 2(1 – a)/(3a)
Exercice 4 : 2(a + 4)/(3(a + 2))
Exercice 5 : –(2x + 1)(4x + 1)
Exercice 6 : 2y(2x + y)/[7(x – 2y)]

Corrigé détaillé

Nous allons effectuer chacune des divisions en simplifiant étape par étape.

────────────────────────────── Exercice 1)

Diviser : (x² – y²) ÷ [(x – y)/(x + y)]

1. Remarquez que x² – y² se factorise en (x – y)(x + y).
2. On écrit alors la division :   [(x – y)(x + y)] ÷ [(x – y)/(x + y)]
3. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. On a donc :   [(x – y)(x + y)] × [(x + y)/(x – y)]
4. On remarque que le facteur (x – y) apparaît au numérateur et au dénominateur et se simplifie (en supposant x ≠ y) :   (x + y) × (x + y) = (x + y)²

Réponse de l’exercice 1 : (x + y)²

────────────────────────────── Exercice 2)

Diviser : (a² – 2ab)/(x – y) ÷ [a²/(x² – y²)]

1. On factorise le dénominateur x² – y² en (x – y)(x + y).
2. La division s’écrit alors :   [a² – 2ab]⁄(x – y) × [(x² – y²)/a²] = [a² – 2ab]⁄(x – y) × [(x – y)(x + y)/a²]
3. Le terme (x – y) se simplifie :   [a² – 2ab] × (x + y)/a²
4. Dans le numérateur, on peut factoriser a :   a(a – 2b)(x + y)/a²
5. Enfin, on simplifie a/a² = 1/a.

Réponse de l’exercice 2 : ((a – 2b)(x + y))/a

────────────────────────────── Exercice 3)

Diviser : (1 – a²)/(3a) ÷ [(a² + 2a + 1)/(2a + 2)]

1. Factorisation des polynômes :   1 – a² = (1 – a)(1 + a)   a² + 2a + 1 = (a + 1)²   2a + 2 = 2(a + 1)
2. On réécrit l’expression :   [(1 – a)(1 + a)]/(3a) ÷ [(a + 1)²/(2(a + 1))]
3. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :   [(1 – a)(1 + a)]/(3a) × [2(a + 1)/(a + 1)²]
4. On simplifie un facteur (a + 1) :   [(1 – a)(1 + a)]/(3a) × [2/(a + 1)] = 2(1 – a)/(3a)

Réponse de l’exercice 3 : 2(1 – a)/(3a)

────────────────────────────── Exercice 4)

Diviser : (a² – 16)/(3a + 6) ÷ [(a² – 2a – 8)/(2a + 4)]

1. Factorisations :   a² – 16 = (a – 4)(a + 4)            (différence de deux carrés)   3a + 6 = 3(a + 2)   a² – 2a – 8 se factorise en (a – 4)(a + 2)   2a + 4 = 2(a + 2)
2. L’expression devient :   [(a – 4)(a + 4)]/[3(a + 2)] ÷ {[(a – 4)(a + 2)]/[2(a + 2)]}
3. La division revient à multiplier par l’inverse :   [(a – 4)(a + 4)]/[3(a + 2)] × [2(a + 2)/((a – 4)(a + 2))]
4. On simplifie :   – (a – 4) se simplifie.   – Un facteur (a + 2) se simplifie.
5. Il reste :   2(a + 4) / [3(a + 2)]

Réponse de l’exercice 4 : 2(a + 4)/(3(a + 2))

────────────────────────────── Exercice 5)

Diviser : (4x² – 1)/(4x – 1) ÷ [(1 – 2x)/(16x² – 1)]

1. Factorisations :   4x² – 1 se factorise en (2x – 1)(2x + 1)      (par différence de deux carrés)   16x² – 1 se factorise en (4x – 1)(4x + 1)   1 – 2x s’écrit aussi –(2x – 1)
2. On réécrit donc l’expression :   [(2x – 1)(2x + 1)]/(4x – 1) ÷ [–(2x – 1)/((4x – 1)(4x + 1))]
3. La division correspond à multiplier par l’inverse :   [(2x – 1)(2x + 1)]/(4x – 1) × [(4x – 1)(4x + 1)/–(2x – 1)]
4. Simplifications :   – Le facteur (2x – 1) s’annule.   – Le facteur (4x – 1) s’annule.
5. Il reste :   (2x + 1)(4x + 1)/–1 = –(2x + 1)(4x + 1)

Réponse de l’exercice 5 : –(2x + 1)(4x + 1)

────────────────────────────── Exercice 6)

Diviser : (xy + 2y²)/(14x – 7y) ÷ [(2x² – 8y²)/(16x² – 4y²)]

1. Factorisons chaque terme :  • Numérateur de la première fraction : xy + 2y² = y(x + 2y)  • Dénominateur de la première fraction : 14x – 7y = 7(2x – y)  • Numérateur de la deuxième fraction : 2x² – 8y² = 2(x² – 4y²) = 2(x – 2y)(x + 2y)  • Dénominateur de la deuxième fraction : 16x² – 4y² = 4(4x² – y²)
     Or, 4x² – y² se factorise en (2x – y)(2x + y)
     donc 16x² – 4y² = 4(2x – y)(2x + y)
2. On réécrit l’expression :   Première fraction = y(x + 2y)/[7(2x – y)]   Deuxième fraction = [2(x – 2y)(x + 2y)]/[4(2x – y)(2x + y)]
3. La division donne :   [y(x + 2y)]/[7(2x – y)] ÷ {2(x – 2y)(x + 2y)/[4(2x – y)(2x + y)]}  qui revient à multiplier par l’inverse :   [y(x + 2y)]/[7(2x – y)] × [4(2x – y)(2x + y)/{2(x – 2y)(x + 2y)}]
4. Simplifions chaque facteur :  • Le facteur (x + 2y) s’annule.  • Le facteur (2x – y) s’annule.  • 4/2 se simplifie en 2.
5. On obtient alors :   2y(2x + y)/[7(x – 2y)]  (remarquez que (x – 2y) ne se simplifie pas avec (2x + y)).

Réponse de l’exercice 6 : 2y(2x + y)/[7(x – 2y)]

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses

1) (x + y)²
2) ((a – 2b)(x + y))/a
3) 2(1 – a)/(3a)
4) 2(a + 4)/(3(a + 2))
5) –(2x + 1)(4x + 1)
6) 2y(2x + y)/[7(x – 2y)]

Chaque étape est expliquée pour montrer comment nous avons transformé et simplifié les expressions. Ces résultats représentent la forme la plus simple des expressions données.