Exercice 1 : Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{x^{2} y^{2} - 16}{a^{3} - 9a} \cdot \frac{3a + a^{2}}{xy + 4}\]
Exercice 2 : Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{2x^{2} + 4x + 2}{x^{3} - x} \cdot \frac{x - x^{2}}{2 + 2x}\]
Exercice 3 : Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{x^{2} - x - 2}{4x^{2} - 16} \cdot \frac{2x^{2} + 4x}{x^{3} + 2x^{2} + x}\]
Exercice 4 : Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{(3a - 3b)^{2}}{ab + b^{2}} \cdot \frac{a^{2}b + ab^{2}}{3a^{2} - 3b^{2}}\]
Exercice 5 : Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{8x^{3} - 8x^{2} + 2x}{4x - 2} \cdot \frac{4x + 8}{x^{4} - 4x^{2}} \cdot \left(x^{2} - 2x\right)\]
Exercice 6 : Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{b + 2}{2b^{2} - 2b} \cdot \frac{b^{4} - b^{2}}{b^{2} + 1} \cdot \frac{b - 1}{b^{2} + 3b + 2}\]
Réponses finales :
1. (xy – 4)/(a – 3)
2. –(x + 1)
3. 1/(2(x + 1))
4. 3a(a – b)/(a + b)
5. 4(2x – 1)
6. [b(b – 1)]/[2(b² + 1)]
Voici les corrigés détaillés pour chacun des six exercices.
────────────────────────────── Exercice 1
Expression à simplifier :
[(x²y² – 16) / (a³ – 9a)] · [(3a + a²) / (xy + 4)]
a) Numérateur du premier facteur :
x²y² – 16
Il s’agit d’une différence de deux carrés, car x²y² = (xy)² et 16 =
4².
On écrit donc : (xy – 4)(xy + 4).
b) Dénominateur du premier facteur :
a³ – 9a
On factorise en mettant a en facteur commun :
a³ – 9a = a(a² – 9).
Or, a² – 9 est encore une différence de deux carrés : a² – 9 = (a –
3)(a + 3).
Donc, a³ – 9a = a (a – 3)(a + 3).
c) Numérateur du second facteur :
3a + a² = a² + 3a
Factorisons a : a(a + 3).
d) Le dénominateur du second facteur reste xy + 4.
Réécrivons l’expression avec ces facteurs :
[(xy – 4)(xy + 4) / (a (a – 3)(a + 3))] · [a(a + 3) / (xy +
4)].
On annule les facteurs communs :
– Le facteur (xy + 4) apparaît au numérateur du premier facteur et au
dénominateur du second facteur, on le simplifie.
– Le facteur a apparaît en numérateur du second facteur et en
dénominateur du premier facteur.
– Le facteur (a + 3) se simplifie également.
Il reste alors :
(xy – 4) / (a – 3).
La réponse finale pour l’Exercice 1 est donc :
(xy – 4) / (a – 3).
────────────────────────────── Exercice 2
Expression à simplifier :
[(2x² + 4x + 2) / (x³ – x)] · [(x – x²) / (2 + 2x)]
a) Numérateur de la première fraction :
2x² + 4x + 2
On met 2 en facteur : 2(x² + 2x + 1).
On remarque que x² + 2x + 1 = (x + 1)².
Donc, 2(x + 1)².
b) Dénominateur de la première fraction :
x³ – x
On factorise par x : x(x² – 1).
Or, x² – 1 est une différence de deux carrés : (x – 1)(x + 1).
Ainsi, x³ – x = x (x – 1)(x + 1).
c) Numérateur de la seconde fraction :
x – x²
On factorise x : x(1 – x).
Remarquons que 1 – x = –(x – 1).
On obtient donc : –x(x – 1).
d) Dénominateur de la seconde fraction :
2 + 2x = 2(x + 1).
L’expression devient :
[2(x + 1)² / (x (x – 1)(x + 1))] · [–x(x – 1) / (2(x + 1))].
Simplifions les facteurs communs :
– (x + 1)² au numérateur et (x + 1) dans le dénominateur se simplifient
en (x + 1).
– x se retrouve au numérateur et au dénominateur.
– (x – 1) apparaît également en numérateur et dénominateur.
– Le 2 au numérateur et le 2 du dénominateur s’annulent.
On obtient alors :
– (x + 1).
La réponse finale pour l’Exercice 2 est donc :
–(x + 1).
────────────────────────────── Exercice 3
Expression à simplifier :
[(x² – x – 2) / (4x² – 16)] · [(2x² + 4x) / (x³ + 2x² + x)]
a) Pour le premier facteur :
– Numérateur : x² – x – 2.
On cherche deux nombres dont le produit est –2 et la somme est –1. On
trouve : –2 et +1.
Donc, x² – x – 2 = (x – 2)(x + 1).
– Dénominateur : 4x² – 16
Factorisons 4 : 4(x² – 4).
Or, x² – 4 = (x – 2)(x + 2).
Donc, 4x² – 16 = 4(x – 2)(x + 2).
b) Pour le second facteur :
– Numérateur : 2x² + 4x
On met 2x en facteur : 2x(x + 2).
– Dénominateur : x³ + 2x² + x
Factorisons x : x(x² + 2x + 1).
Remarquons que x² + 2x + 1 = (x + 1)².
Donc, x³ + 2x² + x = x(x + 1)².
L’expression réécrite devient :
[(x – 2)(x + 1) / {4(x – 2)(x + 2)] · [2x(x + 2) / [x(x +
1)²]].
Annulons les facteurs communs :
– (x – 2) se simplifie.
– x apparaît en numérateur et dénominateur.
– (x + 2) apparaît également.
– Un (x + 1) se simplifie.
Il reste :
[ (x + 1) / (4) ] · [ 2 / (x + 1) ]
En simplifiant (x + 1) :
= 2 / 4 = 1/2.
Toutefois, nous devons tenir compte de la présence du facteur
restant en (x + 1) :
Plus précisément, dans la simplification, on avait :
[(x + 1) / (4)] · [2 / (x + 1)] = 2/(4) = 1/2.
Mais regardons de nouveau la procédure complète étape par étape :
Après annulation :
– Dans le premier facteur, il reste (x + 1) au numérateur et 4(x + 2)
au dénominateur.
– Dans le second facteur, après avoir annulé x, il reste 2(x + 2) au
numérateur et (x + 1)² au dénominateur. Ainsi, l’expression devient
:
[(x + 1) / (4(x + 2))] · [2(x + 2) / (x + 1)²]. On annule (x + 2).
Puis, on simplifie (x + 1) :
= 2/(4) · 1/(x + 1) = 1/(2(x + 1)).
La réponse finale pour l’Exercice 3 est :
1 / [2(x + 1)].
────────────────────────────── Exercice 4
Expression à simplifier :
[(3a – 3b)² / (ab + b²)] · [(a²b + ab²) / (3a² – 3b²)]
a) Pour le premier facteur :
– Numérateur : (3a – 3b)²
Factorisons 3 : 3(a – b), puis on élève au carré : [3(a – b)]² = 9(a –
b)².
– Dénominateur : ab + b²
Factorisons b : b(a + b).
b) Pour le second facteur :
– Numérateur : a²b + ab²
Factorisons ab : ab(a + b).
– Dénominateur : 3a² – 3b²
Factorisons 3 : 3(a² – b²).
Reconnaissons que a² – b² = (a – b)(a + b).
Donc, 3a² – 3b² = 3(a – b)(a + b).
L’expression se réécrit donc :
[9(a – b)² / (b(a + b))] · [ab(a + b) / (3(a – b)(a + b))].
Annulons les facteurs communs :
– (a + b) apparaît au numérateur du second facteur et au dénominateur
du premier.
On annule un (a + b).
– (a – b) se simplifie : (a – b)² / (a – b) = (a – b).
– Le 9 et le 3 se simplifient : 9/3 = 3.
– Si b apparaît en numérateur et dénominateur, annulation
possible.
Ainsi, la multiplication donne :
3 · (a – b) · [a / b?]
Examinons soigneusement la réécriture après simplification :
= 9(a – b)² · ab(a + b) / [b(a + b) · 3(a – b)(a + b)]
On peut annuler (a + b) deux fois (car présent dans les deux
dénominateurs) et simplifier (a – b)² avec (a – b).
Il reste : (9ab(a – b)) / [3b(a + b)], mais nous avons déjà annulé (a
+ b) en entier.
Une autre manière de voir :
Premier facteur : 9(a – b)² / [b(a + b)].
Second facteur : ab(a + b) / [3(a – b)(a + b)] = ab / [3(a –
b)].
Le produit devient : [9(a – b)² · ab] / [3b(a + b)(a – b)].
Annulons b et simplifions (a – b)²/(a – b) = (a – b).
Et 9/3 = 3.
On obtient : 3a(a – b) / (a + b).
La réponse finale pour l’Exercice 4 est donc :
3a(a – b) / (a + b).
────────────────────────────── Exercice 5
Expression à simplifier :
[(8x³ – 8x² + 2x) / (4x – 2)] · [(4x + 8) / (x⁴ – 4x²)] · (x² –
2x)
a) Pour la première fraction : – Numérateur : 8x³ – 8x² + 2x
On met x en facteur : x(8x² – 8x + 2).
On peut remarquer que le polynôme 8x² – 8x + 2 se met lui aussi en
facteur 2 :
8x² – 8x + 2 = 2(4x² – 4x + 1).
Donc, numérateur = 2x(4x² – 4x + 1).
– Dénominateur : 4x – 2
On extrait 2 : 4x – 2 = 2(2x – 1).
La première fraction devient donc :
[2x(4x² – 4x + 1)] / [2(2x – 1)] = x(4x² – 4x + 1)/(2x – 1).
b) Pour la deuxième fraction : – Numérateur : 4x + 8 = 4(x +
2).
– Dénominateur : x⁴ – 4x²
On met x² en facteur : x⁴ – 4x² = x²(x² – 4).
On reconnaît une différence de deux carrés : x² – 4 = (x – 2)(x +
2).
Donc, le dénominateur s’écrit : x²(x – 2)(x + 2).
La deuxième fraction devient :
4(x + 2) / [x²(x – 2)(x + 2)] = 4 / [x²(x – 2)]
(après annulation du facteur (x + 2)).
c) Pour le troisième facteur :
x² – 2x = x(x – 2).
Réunissons maintenant tous les éléments : Premier facteur :
x(4x² – 4x + 1)/(2x – 1).
Deuxième facteur : 4 / [x²(x – 2)].
Troisième facteur : x(x – 2).
Multiplions ces trois expressions : [x(4x² – 4x + 1)/(2x – 1)] · [4 / (x²(x – 2))] · [x(x – 2)].
Regroupons les facteurs semblables : – Les x : on a x · (4 /
x²) · x.
x · x = x² et x²/x² s’annule entièrement. – Le facteur (x – 2)
apparaît en division puis en multiplication et s’annule. – Nous
obtenons alors : [4(4x² – 4x + 1)]/(2x – 1).
On remarque que le trinôme 4x² – 4x + 1 est un carré parfait
car
(2x – 1)² = 4x² – 4x + 1.
Ainsi, l’expression devient :
4(2x – 1)²/(2x – 1).
Enfin, on simplifie (2x – 1)²/(2x – 1) = (2x – 1).
On obtient donc : 4(2x – 1).
La réponse finale pour l’Exercice 5 est :
4(2x – 1).
────────────────────────────── Exercice 6
Expression à simplifier :
[(b + 2) / (2b² – 2b)] · [(b⁴ – b²) / (b² + 1)] · [(b – 1) / (b² + 3b
+ 2)]
a) Pour le premier facteur :
Dénominateur : 2b² – 2b = 2b(b – 1).
Ainsi, le premier facteur devient : (b + 2) / [2b(b – 1)].
b) Pour le second facteur :
Numérateur : b⁴ – b².
On met b² en facteur : b²(b² – 1).
Remarquons que b² – 1 = (b – 1)(b + 1).
Donc, b⁴ – b² = b²(b – 1)(b + 1).
Le dénominateur reste b² + 1 (impossible de factoriser avec des
nombres entiers).
c) Pour le troisième facteur :
Dénominateur : b² + 3b + 2.
Ce trinôme se factorise en (b + 1)(b + 2).
Le troisième facteur devient : (b – 1) / [(b + 1)(b + 2)].
L’expression se réécrit donc sous la forme :
[(b + 2) / (2b(b – 1))] · [b²(b – 1)(b + 1) / (b² + 1)] · [(b – 1) /
((b + 1)(b + 2))].
Regroupons tous les facteurs en numérateur et dénominateur
:
Numérateur : (b + 2) · b² · (b – 1) · (b + 1) · (b – 1).
Dénominateur : 2b · (b – 1) · (b² + 1) · (b + 1) · (b + 2).
Annulons les facteurs communs :
– (b + 2) s’annule.
– (b + 1) s’annule.
– Un (b – 1) du numérateur s’annule avec (b – 1) du
dénominateur.
Il reste alors :
Numérateur : b²(b – 1).
Dénominateur : 2b(b² + 1).
Simplifions ensuite le facteur b :
b² / b = b.
Donc, l’expression devient :
b(b – 1) / [2(b² + 1)].
La réponse finale pour l’Exercice 6 est :
[b(b – 1)] / [2(b² + 1)].
────────────────────────────── Résumé des réponses finales :