Simplifiez l’expression \(\frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x-y}{2x + 2y}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{a-b}{5a} \cdot \frac{b}{b-a}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{x^{2}-y^{2}}{z^{2}-u^{2}} \cdot \frac{z-u}{x+y}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{b^{2}-2}{3bc} \cdot \frac{30c^{3}}{5b^{4}-10b^{2}}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{a^{2}-b^{2}}{2x - 2y} \cdot \frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{a + b}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{x^{2}+10x+25}{x-3} \cdot \frac{5-x}{x^{2}-25}\).
Réponses : 1. 1/2
2. –b/(5a)
3. (x – y)/(z + u)
4. 2c²/(b³)
5. (a – b)(x – y)/2
6. –(x + 5)/(x – 3)
Voici la correction détaillée de chaque simplification :
────────────────────────────── Exercice 1. Simplifier
l’expression
(x + y)/(x − y) × (x − y)/(2x + 2y)
Remarquons que le facteur (x − y) apparaît au numérateur de la
première fraction et au dénominateur de la deuxième. Puisqu’on suppose
que x – y ≠ 0, on peut le simplifier :
(x + y)⁄(x − y) × (x − y)⁄(2x + 2y) = (x + y)⁄(2x + 2y).
Dans le dénominateur 2x + 2y, on peut factoriser 2 :
2x + 2y = 2(x + y).
L’expression devient alors
(x + y)⁄[2(x + y)].
Les facteurs (x + y) se simplifient (à condition que x + y ≠ 0) et il
reste :
1/2.
→ Réponse : 1/2
────────────────────────────── Exercice 2. Simplifier
l’expression
(a – b)/(5a) × (b)/(b – a)
Remarquons que b – a est l’opposé de a – b :
b – a = −(a – b).
On réécrit la deuxième fraction en conséquence :
(b)/(b – a) = (b)/[−(a – b)] = −b/(a – b).
L’expression devient :
(a – b)/(5a) × [−b/(a – b)].
Les termes (a – b) se simplifient (en supposant a – b ≠ 0),
donnant :
−b/(5a).
→ Réponse : −b/(5a)
────────────────────────────── Exercice 3. Simplifier
l’expression
(x² − y²)/(z² − u²) × (z − u)/(x + y)
Factorisons les différences de carrés :
x² − y² = (x + y)(x − y)
z² − u² = (z − u)(z + u).
L’expression se réécrit donc :
[(x + y)(x − y)]/[(z − u)(z + u)] × (z − u)/(x + y).
On remarque que (x + y) dans le numérateur et (z − u) dans le
dénominateur se retrouvent respectivement avec un facteur correspondant
dans l’autre fraction, ce qui permet de les annuler (les conditions
étant x + y ≠ 0 et z − u ≠ 0) :
(x − y)/(z + u).
→ Réponse : (x − y)/(z + u)
────────────────────────────── Exercice 4. Simplifier
l’expression
(b² − 2)/(3bc) × (30c³)/(5b⁴ − 10b²)
Dans le dénominateur du deuxième facteur, on factorise par 5b²
:
5b⁴ − 10b² = 5b²(b² − 2).
L’expression s’écrit donc :
(b² − 2)/(3bc) × (30c³)/[5b²(b² − 2)].
Le facteur b² − 2 apparaît au numérateur et dans le dénominateur,
il se simplifie (à condition que b² − 2 ≠ 0) :
30c³/(3bc × 5b²).
Calculons le dénominateur :
3bc × 5b² = 15b³ c.
On obtient alors :
(30c³)/(15b³ c).
Simplifions les coefficients et les puissances :
30/15 = 2 et c³/c = c²,
ce qui donne :
2c²/b³.
→ Réponse : 2c²/(b³)
────────────────────────────── Exercice 5. Simplifier
l’expression
(a² − b²)/(2x − 2y) × (x² − 2xy + y²)/(a + b)
Factorisons a² − b² en utilisant la différence de deux carrés
:
a² − b² = (a − b)(a + b).
Factorisons le dénominateur 2x − 2y en mettant 2 en facteur
:
2x − 2y = 2(x − y).
Le trinôme x² − 2xy + y² est un carré parfait :
x² − 2xy + y² = (x − y)².
L’expression s’écrit alors :
[(a − b)(a + b)]/[2(x − y)] × [(x − y)²]/(a + b).
On remarque que (a + b) se simplifie et on peut simplifier (x −
y)² avec (x − y) du dénominateur, ce qui donne :
(a − b)(x − y)/2.
→ Réponse : (a − b)(x − y)/2
────────────────────────────── Exercice 6. Simplifier
l’expression
(x² + 10x + 25)/(x − 3) × (5 − x)/(x² − 25)
Factorisons les polynômes si possible. Dans le premier
numérateur,
x² + 10x + 25 est un carré parfait :
x² + 10x + 25 = (x + 5)².
Le dénominateur x² − 25 est une différence de deux carrés :
x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
L’expression devient :
[(x + 5)²/(x − 3)] × [(5 − x)/((x − 5)(x + 5))].
Remarquons que 5 − x est l’opposé de x − 5, c’est-à-dire :
5 − x = −(x − 5).
On peut remplacer et simplifier :
[(x + 5)²/(x − 3)] × [−(x − 5)/((x − 5)(x + 5))].
Le facteur (x − 5) apparaît au numérateur et au dénominateur et
se simplifie, et l’on peut simplifier également (x + 5)²/(x + 5) = x + 5
(en supposant x + 5 ≠ 0) :
= −(x + 5)/(x − 3).
→ Réponse : −(x + 5)/(x − 3)
────────────────────────────── Conclusion finale :
Chaque étape a été détaillée pour montrer les simplifications
successives en factorisant et en annulant les termes communs.
Ces résultats sont obtenus en supposant que les expressions annulées ne
sont pas égales à zéro.