Exercice 24
Effectuez les produits suivants et simplifiez le résultat autant que possible :
\(\frac{49\,x\,y^{2}}{6\,a\,b^{3}} \cdot \frac{18\,a^{3}\,b}{14\,x^{2}\,y}\)
\(\left(-\frac{3\,x}{2\,y}\right) \cdot \left(\frac{-7\,x^{2}\,y}{-3\,z^{2}}\right) \cdot \left(\frac{14\,y\,z^{3}}{-x^{4}}\right)\)
\(\frac{18\,x^{3}\,y^{4}\,z}{8,1\,a^{2}\,b^{4}\,c^{3}} \cdot \frac{2,7\,a^{2}\,b\,c^{3}}{4,5\,x\,y^{2}\,z^{2}}\)
\(\frac{5\,x^{2}\,y}{3\,a\,b^{2}} \cdot \frac{5\,a^{3}\,y^{2}}{2\,b\,x} \cdot \frac{4\,a^{2}}{3\,x^{3}\,b}\)
Réponse
Réponses finales :
Exercice 1 :
\[ \frac{21\,a^{2}\,y}{2\,x\,b^{2}} \]
Exercice 2 :
\[ \frac{49\,y\,z}{x} \]
Exercice 3 :
\[ \frac{4\,x^{2}\,y^{2}}{3\,z\,b^{3}} \]
Exercice 4 :
\[ \frac{50\,a^{4}\,y^{3}}{9\,x^{2}\,b^{4}} \]
Corrigé détaillé
Correction des Exercices
Exercice 1
Effectuez les produits suivants et simplifiez le résultat autant que possible :
\[ \frac{49\,x\,y^{2}}{6\,a\,b^{3}} \cdot \frac{18\,a^{3}\,b}{14\,x^{2}\,y} \]
Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs
Multiplions les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble :
\[ \frac{49\,x\,y^{2} \times 18\,a^{3}\,b}{6\,a\,b^{3} \times 14\,x^{2}\,y} \]
Étape 2 : Calculer les coefficients numériques
Multipliant les nombres dans le numérateur et le dénominateur :
\[ \frac{49 \times 18}{6 \times 14} = \frac{882}{84} = 10.5 \]
Cependant, pour simplifier en fractions, nous pouvons diviser numérateur et dénominateur par leur plus grand commun diviseur (GCD). Le GCD de 882 et 84 est 42 :
\[ \frac{882 \div 42}{84 \div 42} = \frac{21}{2} \]
Étape 3 : Simplifier les variables
Appliquons les propriétés des exposants pour les variables :
- \(x\) : \(\frac{x}{x^{2}} = \frac{1}{x}\)
- \(y^{2}\) : \(\frac{y^{2}}{y} = y\)
- \(a^{3}\) : \(\frac{a^{3}}{a} = a^{2}\)
- \(b\) : \(\frac{b}{b^{3}} = \frac{1}{b^{2}}\)
Étape 4 : Assembler le tout
En combinant les coefficients et les variables simplifiées :
\[ \frac{21}{2} \times \frac{a^{2} \times y}{x \times b^{2}} = \frac{21\,a^{2}\,y}{2\,x\,b^{2}} \]
Réponse finale :
\[ \frac{21\,a^{2}\,y}{2\,x\,b^{2}} \]
Exercice 2
Effectuez les produits suivants et simplifiez le résultat autant que possible :
\[ \left(-\frac{3\,x}{2\,y}\right) \cdot \left(\frac{-7\,x^{2}\,y}{-3\,z^{2}}\right) \cdot \left(\frac{14\,y\,z^{3}}{-x^{4}}\right) \]
Étape 1 : Multiplier les fractions ensemble
Multipliant les numérateurs et les dénominateurs :
\[ \frac{(-3x) \times (-7x^{2}y) \times 14yz^{3}}{2y \times (-3z^{2}) \times (-x^{4})} \]
Étape 2 : Simplifier les signes
Multipliant les signes :
- Numérateur : \(- \times - \times + = +\)
- Dénominateur : \(+ \times - \times - = +\)
Donc, le signe final est positif.
Étape 3 : Calculer les coefficients numériques
Multipliant les nombres :
\[ \frac{3 \times 7 \times 14}{2 \times 3 \times 1} = \frac{294}{6} = 49 \]
Étape 4 : Simplifier les variables
Appliquons les propriétés des exposants :
- \(x\) : \(\frac{x \times x^{2}}{x^{4}} = \frac{x^{3}}{x^{4}} = \frac{1}{x}\)
- \(y\) : \(\frac{y \times y}{y} = y\)
- \(z\) : \(\frac{z^{3}}{z^{2}} = z^{1} = z\)
Étape 5 : Assembler le tout
En combinant les coefficients et les variables simplifiées :
\[ 49 \times \frac{y \times z}{x} = \frac{49\,y\,z}{x} \]
Réponse finale :
\[ \frac{49\,y\,z}{x} \]
Exercice 3
Effectuez les produits suivants et simplifiez le résultat autant que possible :
\[ \frac{18\,x^{3}\,y^{4}\,z}{8.1\,a^{2}\,b^{4}\,c^{3}} \cdot \frac{2.7\,a^{2}\,b\,c^{3}}{4.5\,x\,y^{2}\,z^{2}} \]
Étape 1 : Multiplier les fractions ensemble
Multipliant les numérateurs et les dénominateurs :
\[ \frac{18\,x^{3}\,y^{4}\,z \times 2.7\,a^{2}\,b\,c^{3}}{8.1\,a^{2}\,b^{4}\,c^{3} \times 4.5\,x\,y^{2}\,z^{2}} \]
Étape 2 : Multiplier les coefficients numériques
Calculons les coefficients avec des décimales :
\[ \frac{18 \times 2.7}{8.1 \times 4.5} = \frac{48.6}{36.45} \]
Simplifions en divisant par 0.45 :
\[ \frac{48.6 \div 0.45}{36.45 \div 0.45} = \frac{108}{81} = \frac{4}{3} \]
Étape 3 : Simplifier les variables
Appliquons les propriétés des exposants :
- \(x\) : \(\frac{x^{3}}{x} = x^{2}\)
- \(y\) : \(\frac{y^{4}}{y^{2}} = y^{2}\)
- \(z\) : \(\frac{z}{z^{2}} = \frac{1}{z}\)
- \(a^{2}\) : \(\frac{a^{2}}{a^{2}} = 1\)
- \(b\) : \(\frac{b}{b^{4}} = \frac{1}{b^{3}}\)
- \(c^{3}\) : \(\frac{c^{3}}{c^{3}} = 1\)
Étape 4 : Assembler le tout
En combinant les coefficients et les variables simplifiées :
\[ \frac{4}{3} \times \frac{x^{2}\,y^{2}}{z\,b^{3}} = \frac{4\,x^{2}\,y^{2}}{3\,z\,b^{3}} \]
Réponse finale :
\[ \frac{4\,x^{2}\,y^{2}}{3\,z\,b^{3}} \]
Exercice 4
Effectuez les produits suivants et simplifiez le résultat autant que possible :
\[ \frac{5\,x^{2}\,y}{3\,a\,b^{2}} \cdot \frac{5\,a^{3}\,y^{2}}{2\,b\,x} \cdot \frac{4\,a^{2}}{3\,x^{3}\,b} \]
Étape 1 : Multiplier les fractions ensemble
Multipliant les numérateurs et les dénominateurs :
\[ \frac{5\,x^{2}\,y \times 5\,a^{3}\,y^{2} \times 4\,a^{2}}{3\,a\,b^{2} \times 2\,b\,x \times 3\,x^{3}\,b} \]
Étape 2 : Calculer les coefficients numériques
Multipliant les nombres :
\[ \frac{5 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 3} = \frac{100}{18} \]
Simplifions en divisant par 2 :
\[ \frac{50}{9} \]
Étape 3 : Simplifier les variables
Appliquons les propriétés des exposants :
- \(x\) : \(\frac{x^{2}}{x \times x^{3}} = \frac{x^{2}}{x^{4}} = \frac{1}{x^{2}}\)
- \(y\) : \(\frac{y \times y^{2}}{1} = y^{3}\)
- \(a\) : \(\frac{a^{3} \times a^{2}}{a} = \frac{a^{5}}{a} = a^{4}\)
- \(b\) : \(\frac{1}{b^{2} \times b \times b} = \frac{1}{b^{4}}\)
Étape 4 : Assembler le tout
En combinant les coefficients et les variables simplifiées :
\[ \frac{50}{9} \times \frac{a^{4}\,y^{3}}{x^{2}\,b^{4}} = \frac{50\,a^{4}\,y^{3}}{9\,x^{2}\,b^{4}} \]
Réponse finale :
\[ \frac{50\,a^{4}\,y^{3}}{9\,x^{2}\,b^{4}} \]