Simplifiez \(\frac{10x^{2} - 10}{5x + 5}\)
Simplifiez \(\frac{3x^{2} - 6xy + 3y^{2}}{9x^{2} - 9y^{2}}\)
Simplifiez \(\frac{4a^{2} + 12ab}{6a^{3} - 54ab^{2}}\)
Simplifiez \(\frac{2a^{4} - 14a^{3} + 20a^{2}}{a^{4}x - 10a^{3}x + 25a^{2}x}\)
Simplifiez \(\frac{4x^{2} - 36}{-2x^{2} + 12x - 18}\)
Simplifiez \(\frac{(x - 1)\left(x^{4} + 6x^{2} + 9\right)}{x^{4} + 2x^{2} - 3}\)
Exercice 19 : \(2x - 2\)
Exercice 20 : \(\frac{x - y}{3(x + y)}\)
Exercice 21 : \(\frac{2}{3(a - 3b)}\)
Exercice 22 : \(\frac{2(a - 2)}{x(a - 5)}\)
Exercice 23 : \(\frac{-2(x + 3)}{x - 3}\)
Exercice 24 : \(\frac{x^{2} + 3}{x + 1}\)
Simplifiez \(\frac{10x^{2} - 10}{5x + 5}\)
Correction détaillée :
Factoriser le numérateur et le dénominateur :
Numérateur : \(10x^{2} - 10\)
On peut factoriser par \(10\) : \[ 10x^{2} - 10 = 10(x^{2} - 1) \]
De plus, \(x^{2} - 1\) est une différence de carrés : \[ x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
Donc le numérateur devient : \[ 10(x - 1)(x + 1) \]
Dénominateur : \(5x + 5\)
On peut factoriser par \(5\) : \[ 5x + 5 = 5(x + 1) \]
Réécrire l’expression avec les facteurs : \[ \frac{10(x - 1)(x + 1)}{5(x + 1)} \]
Simplifier les facteurs communs :
Le facteur \((x + 1)\) apparaît au numérateur et au dénominateur. On peut les simplifier : \[ \frac{10(x - 1)\cancel{(x + 1)}}{5\cancel{(x + 1)}} = \frac{10(x - 1)}{5} \]
Simplifier les coefficients :
Diviser \(10\) par \(5\) donne \(2\) : \[ \frac{10(x - 1)}{5} = 2(x - 1) \]
Résultat final : \[ 2(x - 1) = 2x - 2 \]
Simplifiez \(\frac{3x^{2} - 6xy + 3y^{2}}{9x^{2} - 9y^{2}}\)
Correction détaillée :
Factoriser le numérateur et le dénominateur :
Numérateur : \(3x^{2} - 6xy + 3y^{2}\)
On peut factoriser par \(3\) : \[ 3x^{2} - 6xy + 3y^{2} = 3(x^{2} - 2xy + y^{2}) \]
L’expression \(x^{2} - 2xy + y^{2}\) est un carré parfait : \[ x^{2} - 2xy + y^{2} = (x - y)^{2} \]
Donc le numérateur devient : \[ 3(x - y)^{2} \]
Dénominateur : \(9x^{2} - 9y^{2}\)
On peut factoriser par \(9\) : \[ 9x^{2} - 9y^{2} = 9(x^{2} - y^{2}) \]
\(x^{2} - y^{2}\) est une différence de carrés : \[ x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) \]
Donc le dénominateur devient : \[ 9(x - y)(x + y) \]
Réécrire l’expression avec les facteurs : \[ \frac{3(x - y)^{2}}{9(x - y)(x + y)} \]
Simplifier les facteurs communs :
Le facteur \((x - y)\) apparaît au numérateur et au dénominateur. On peut les simplifier : \[ \frac{3(x - y)\cancel{(x - y)}}{9\cancel{(x - y)}(x + y)} = \frac{3(x - y)}{9(x + y)} \]
Simplifier les coefficients :
Diviser \(3\) par \(9\) donne \(\frac{1}{3}\) : \[ \frac{3(x - y)}{9(x + y)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(x - y)}{(x + y)} = \frac{x - y}{3(x + y)} \]
Résultat final : \[ \frac{x - y}{3(x + y)} \]
Simplifiez \(\frac{4a^{2} + 12ab}{6a^{3} - 54ab^{2}}\)
Correction détaillée :
Factoriser le numérateur et le dénominateur :
Numérateur : \(4a^{2} + 12ab\)
On peut factoriser par \(4a\) : \[ 4a^{2} + 12ab = 4a(a + 3b) \]
Dénominateur : \(6a^{3} - 54ab^{2}\)
On peut factoriser par \(6a\) : \[ 6a^{3} - 54ab^{2} = 6a(a^{2} - 9b^{2}) \]
L’expression \(a^{2} - 9b^{2}\) est une différence de carrés : \[ a^{2} - 9b^{2} = (a - 3b)(a + 3b) \]
Donc le dénominateur devient : \[ 6a(a - 3b)(a + 3b) \]
Réécrire l’expression avec les facteurs : \[ \frac{4a(a + 3b)}{6a(a - 3b)(a + 3b)} \]
Simplifier les facteurs communs :
Le facteur \(a\) et \((a + 3b)\) apparaissent au numérateur et au dénominateur. On peut les simplifier : \[ \frac{4\cancel{a}\cancel{(a + 3b)}}{6\cancel{a}\cdot (a - 3b)\cancel{(a + 3b)}}} = \frac{4}{6(a - 3b)} \]
Simplifier les coefficients :
Diviser \(4\) par \(6\) donne \(\frac{2}{3}\) : \[ \frac{4}{6(a - 3b)} = \frac{2}{3(a - 3b)} \]
Résultat final : \[ \frac{2}{3(a - 3b)} \]
Simplifiez \(\frac{2a^{4} - 14a^{3} + 20a^{2}}{a^{4}x - 10a^{3}x + 25a^{2}x}\)
Correction détaillée :
Factoriser le numérateur et le dénominateur :
Numérateur : \(2a^{4} - 14a^{3} + 20a^{2}\)
On peut factoriser par \(2a^{2}\) : \[ 2a^{4} - 14a^{3} + 20a^{2} = 2a^{2}(a^{2} - 7a + 10) \]
Factorisons le trinôme \(a^{2} - 7a + 10\) : \[ a^{2} - 7a + 10 = (a - 2)(a - 5) \]
Donc le numérateur devient : \[ 2a^{2}(a - 2)(a - 5) \]
Dénominateur : \(a^{4}x - 10a^{3}x + 25a^{2}x\)
On peut factoriser par \(a^{2}x\) : \[ a^{4}x - 10a^{3}x + 25a^{2}x = a^{2}x(a^{2} - 10a + 25) \]
Factorisons le trinôme \(a^{2} - 10a + 25\) : \[ a^{2} - 10a + 25 = (a - 5)^{2} \]
Donc le dénominateur devient : \[ a^{2}x(a - 5)^{2} \]
Réécrire l’expression avec les facteurs : \[ \frac{2a^{2}(a - 2)(a - 5)}{a^{2}x(a - 5)^{2}} \]
Simplifier les facteurs communs :
Le facteur \(a^{2}\) et \((a - 5)\) apparaissent au numérateur et au dénominateur. On peut les simplifier : \[ \frac{2\cancel{a^{2}}(a - 2)\cancel{(a - 5)}}{\cancel{a^{2}}x(a - 5)\cancel{(a - 5)}}} = \frac{2(a - 2)}{x(a - 5)} \]
Résultat final : \[ \frac{2(a - 2)}{x(a - 5)} \]
Simplifiez \(\frac{4x^{2} - 36}{-2x^{2} + 12x - 18}\)
Correction détaillée :
Factoriser le numérateur et le dénominateur :
Numérateur : \(4x^{2} - 36\)
On peut factoriser par \(4\) : \[ 4x^{2} - 36 = 4(x^{2} - 9) \]
La différence de carrés \(x^{2} - 9\) se factorise : \[ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
Donc le numérateur devient : \[ 4(x - 3)(x + 3) \]
Dénominateur : \(-2x^{2} + 12x - 18\)
On peut factoriser par \(-2\) : \[ -2x^{2} + 12x - 18 = -2(x^{2} - 6x + 9) \]
Le trinôme \(x^{2} - 6x + 9\) est un carré parfait : \[ x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2} \]
Donc le dénominateur devient : \[ -2(x - 3)^{2} \]
Réécrire l’expression avec les facteurs : \[ \frac{4(x - 3)(x + 3)}{-2(x - 3)^{2}} \]
Simplifier les facteurs communs :
Le facteur \((x - 3)\) apparaît au numérateur et au dénominateur. On peut simplifier un facteur : \[ \frac{4\cancel{(x - 3)}(x + 3)}{-2(x - 3)\cancel{(x - 3)}}} = \frac{4(x + 3)}{-2(x - 3)} \]
Simplifier les coefficients :
Diviser \(4\) par \(-2\) donne \(-2\) : \[ \frac{4(x + 3)}{-2(x - 3)} = -2 \cdot \frac{(x + 3)}{(x - 3)} = \frac{-2(x + 3)}{x - 3} \]
Résultat final : \[ \frac{-2(x + 3)}{x - 3} \] Ou bien, en factorisant le signe négatif : \[ \frac{2(x + 3)}{3 - x} \]
Simplifiez \(\frac{(x - 1)\left(x^{4} + 6x^{2} + 9\right)}{x^{4} + 2x^{2} - 3}\)
Correction détaillée :
Factoriser le numérateur et le dénominateur :
Numérateur : \((x - 1)(x^{4} + 6x^{2} + 9)\)
Analysons le polynôme \(x^{4} + 6x^{2} + 9\). Remarquons que : \[ x^{4} + 6x^{2} + 9 = (x^{2})^{2} + 6x^{2} + 9 = (x^{2} + 3)^{2} \]
Donc le numérateur devient : \[ (x - 1)(x^{2} + 3)^{2} \]
Dénominateur : \(x^{4} + 2x^{2} - 3\)
Remplaçons \(x^{4}\) par \((x^{2})^{2}\) : \[ x^{4} + 2x^{2} - 3 = (x^{2})^{2} + 2x^{2} - 3 \]
Factorisons ce trinôme : \[ (x^{2})^{2} + 2x^{2} - 3 = (x^{2} + 3)(x^{2} - 1) \]
De plus, \(x^{2} - 1\) est une différence de carrés : \[ x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
Donc le dénominateur devient : \[ (x^{2} + 3)(x - 1)(x + 1) \]
Réécrire l’expression avec les facteurs : \[ \frac{(x - 1)(x^{2} + 3)^{2}}{(x^{2} + 3)(x - 1)(x + 1)} \]
Simplifier les facteurs communs :
Les facteurs \((x - 1)\) et \((x^{2} + 3)\) apparaissent au numérateur et au dénominateur. On peut les simplifier : \[ \frac{\cancel{(x - 1)}\cancel{(x^{2} + 3)}(x^{2} + 3)}{\cancel{(x^{2} + 3)}\cancel{(x - 1)}(x + 1)}} = \frac{(x^{2} + 3)}{x + 1} \]
Résultat final : \[ \frac{x^{2} + 3}{x + 1} \]