Simplifiez l’expression \(\frac{a^{2} b - a b}{a^{2} -1}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{x-1}{-x^{2}+2 x-1}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{y^{2}-4 a^{2}}{y^{2}+4 a^{2}+4 a y}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{2 a x y^{2} + 2 a x^{3}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-9}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{a^{2}-8 a+12}{a^{2}-12 a+36}\).
Voici la réponse finale très courte résumant les simplifications :
Nous allons simplifier chacune des expressions pas à pas.
────────────────────────────── 1) Expression : (a²b – ab) / (a² – 1)
– Étape 1 : Factoriser le numérateur.
Le numérateur a²b – ab possède un facteur commun “ab” :
a²b – ab = ab(a – 1).
– Étape 2 : Factoriser le dénominateur.
Le dénominateur a² – 1 est une différence de carrés :
a² – 1 = (a – 1)(a + 1).
– Étape 3 : Annuler le facteur commun (a – 1) (en supposant a ≠
1).
On a alors :
(ab(a – 1)) / ((a – 1)(a + 1)) = ab / (a + 1).
La forme simplifiée est donc :
ab / (a + 1).
────────────────────────────── 2) Expression : (x – 1) / (–x² + 2x – 1)
– Étape 1 : Factoriser le dénominateur.
On remarque que :
–x² + 2x – 1 = –(x² – 2x + 1).
Or, x² – 2x + 1 est un carré parfait car :
x² – 2x + 1 = (x – 1)².
Ainsi, le dénominateur devient :
–(x – 1)².
– Étape 2 : Réécrire l’expression.
On obtient :
(x – 1) / [–(x – 1)²].
– Étape 3 : Annuler un facteur (x – 1) en supposant x ≠ 1.
Cela donne :
1 / [–(x – 1)] = –1/(x – 1).
La forme simplifiée est donc :
–1/(x – 1).
────────────────────────────── 3) Expression : (y² – 4a²) / (y² + 4a² + 4ay)
– Étape 1 : Factoriser le numérateur.
Le numérateur est une différence de carrés, puisque 4a² = (2a)² :
y² – 4a² = (y – 2a)(y + 2a).
– Étape 2 : Réarranger et factoriser le dénominateur.
Le dénominateur s’écrit :
y² + 4ay + 4a², qui est un carré parfait :
y² + 4ay + 4a² = (y + 2a)².
– Étape 3 : Annuler le facteur commun (y + 2a) (en supposant y ≠
–2a).
On obtient :
[(y – 2a)(y + 2a)] / (y + 2a)² = (y – 2a) / (y + 2a).
La forme simplifiée est donc :
(y – 2a) / (y + 2a).
────────────────────────────── 4) Expression : (2axy² + 2ax³) / (x⁴ + 2x²y² + y⁴)
– Étape 1 : Factoriser le numérateur.
On remarque que 2ax est facteur commun :
2axy² + 2ax³ = 2ax(y² + x²).
– Étape 2 : Reconnaître le dénominateur.
Le dénominateur s’écrit :
x⁴ + 2x²y² + y⁴ = (x² + y²)²
(puisque (x² + y²)² = x⁴ + 2x²y² + y⁴).
– Étape 3 : Simplifier l’expression en annulant un facteur (x² + y²)
(avec x² + y² ≠ 0).
On a alors :
[2ax(x² + y²)] / (x² + y²)² = 2ax / (x² + y²).
La forme simplifiée est donc :
2ax / (x² + y²).
────────────────────────────── 5) Expression : (x² – 5x + 6) / (x² – 9)
– Étape 1 : Factoriser le numérateur.
On cherche deux nombres dont le produit est 6 et la somme est –5.
Ceux-ci sont –2 et –3 :
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
– Étape 2 : Factoriser le dénominateur.
Le dénominateur est une différence de carrés :
x² – 9 = (x – 3)(x + 3).
– Étape 3 : Annuler le facteur commun (x – 3) (en supposant x ≠
3).
L’expression devient :
(x – 2) / (x + 3).
La forme simplifiée est donc :
(x – 2) / (x + 3).
────────────────────────────── 6) Expression : (a² – 8a + 12) / (a² – 12a + 36)
– Étape 1 : Factoriser le numérateur.
On cherche deux nombres dont le produit est 12 et la somme est –8.
Ceux-ci sont –2 et –6 :
a² – 8a + 12 = (a – 2)(a – 6).
– Étape 2 : Factoriser le dénominateur.
Le dénominateur est un carré parfait, car :
a² – 12a + 36 = (a – 6)².
– Étape 3 : Annuler le facteur commun (a – 6) (en supposant a ≠
6).
On obtient :
(a – 2)(a – 6) / (a – 6)² = (a – 2) / (a – 6).
La forme simplifiée est donc :
(a – 2) / (a – 6).
────────────────────────────── Conclusion des simplifications :
Chaque simplification a été réalisée en identifiant et en annulant les facteurs communs aux numérateur et dénominateur. Assurez-vous de préciser les conditions d’annulation (par exemple, x ≠ 1 dans le deuxième exercice, etc.) selon le domaine de définition de chaque expression.