Exercice 21

Simplifier autant que possible les fractions rationnelles suivantes :

\(\frac{4 a^{5}}{16 a^{4} x}\)
\(\frac{7 a b x}{49 a^{2} b^{2} x^{2}}\)
\(-\frac{3 a^{2} b x^{6}}{6 a^{3} b^{3} x^{3}}\)
\(\frac{-9 a^{3} b c}{-72 a^{3} b c}\)
\(\frac{-15 a m x^{3}}{35 b m x}\)
\(\frac{57 m^{2} n^{3}}{-19 n^{2}}\)

Dans les exercices 222 à 224, factoriser le numérateur ou le dénominateur puis simplifier les facteurs communs :

Réponse

Résumé des corrections :

\(\dfrac{a}{4x}\)
\(\dfrac{1}{7abx}\)
\(-\dfrac{x^{3}}{2ab^{2}}\)
\(\dfrac{1}{8}\)
\(-\dfrac{3ax^{2}}{7}\)
\(-3m^{2}n\)

Corrigé détaillé

Exercice 1

Simplifier la fraction rationnelle suivante : \[ \frac{4 a^{5}}{16 a^{4} x} \]

Étape 1 : Simplifier les coefficients numériques

Le coefficient numérique au numérateur est 4 et au dénominateur est 16. On peut simplifier en divisant le numérateur et le dénominateur par 4 : \[ \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]

Étape 2 : Simplifier les variables avec les mêmes bases

Pour la variable \(a\), on a \(a^{5}\) au numérateur et \(a^{4}\) au dénominateur. Selon les règles des exposants : \[ \frac{a^{5}}{a^{4}} = a^{5-4} = a^{1} = a \]
La variable \(x\) apparaît uniquement au dénominateur.

Étape 3 : Assembler les simplifications

Après simplification, la fraction devient : \[ \frac{1 \cdot a}{4 \cdot x} = \frac{a}{4x} \]

Réponse simplifiée : \[ \frac{a}{4x} \]

Exercice 2

Simplifier la fraction rationnelle suivante : \[ \frac{7 a b x}{49 a^{2} b^{2} x^{2}} \]

Étape 1 : Simplifier les coefficients numériques

Le coefficient numérique au numérateur est 7 et au dénominateur est 49. On simplifie en divisant par 7 : \[ \frac{7}{49} = \frac{1}{7} \]

Étape 2 : Simplifier les variables avec les mêmes bases

Pour la variable \(a\) : \[ \frac{a}{a^{2}} = \frac{1}{a^{2-1}} = \frac{1}{a} \]
Pour la variable \(b\) : \[ \frac{b}{b^{2}} = \frac{1}{b^{2-1}} = \frac{1}{b} \]
Pour la variable \(x\) : \[ \frac{x}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2-1}} = \frac{1}{x} \]

Étape 3 : Assembler les simplifications

Après simplification, la fraction devient : \[ \frac{1}{7} \times \frac{1}{a} \times \frac{1}{b} \times \frac{1}{x} = \frac{1}{7 a b x} \]

Réponse simplifiée : \[ \frac{1}{7 a b x} \]

Exercice 3

Simplifier la fraction rationnelle suivante : \[ -\frac{3 a^{2} b x^{6}}{6 a^{3} b^{3} x^{3}} \]

Étape 1 : Simplifier les coefficients numériques

Les coefficients sont -3 au numérateur et 6 au dénominateur. On peut simplifier : \[ -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} \]

Étape 2 : Simplifier les variables avec les mêmes bases

Pour la variable \(a\) : \[ \frac{a^{2}}{a^{3}} = \frac{1}{a^{3-2}} = \frac{1}{a} \]
Pour la variable \(b\) : \[ \frac{b}{b^{3}} = \frac{1}{b^{3-1}} = \frac{1}{b^{2}} \]
Pour la variable \(x\) : \[ \frac{x^{6}}{x^{3}} = x^{6-3} = x^{3} \]

Étape 3 : Assembler les simplifications

Après simplification, la fraction devient : \[ -\frac{1}{2} \times \frac{1}{a} \times \frac{1}{b^{2}} \times x^{3} = -\frac{x^{3}}{2 a b^{2}} \]

Réponse simplifiée : \[ -\frac{x^{3}}{2 a b^{2}} \]

Exercice 4

Simplifier la fraction rationnelle suivante : \[ \frac{-9 a^{3} b c}{-72 a^{3} b c} \]

Étape 1 : Simplifier les signes

Les deux termes sont négatifs, donc le signe global est positif : \[ \frac{-9}{-72} = \frac{9}{72} \]

Étape 2 : Simplifier les coefficients numériques

Simplifions \(\frac{9}{72}\) en divisant par 9 : \[ \frac{9}{72} = \frac{1}{8} \]

Étape 3 : Simplifier les variables

Pour \(a^{3}\), \(b\) et \(c\), ils apparaissent autant au numérateur qu’au dénominateur : \[ \frac{a^{3}}{a^{3}} = 1, \quad \frac{b}{b} = 1, \quad \frac{c}{c} = 1 \]

Étape 4 : Assembler les simplifications

Après simplification, la fraction devient : \[ \frac{1}{8} \times 1 \times 1 \times 1 = \frac{1}{8} \]

Réponse simplifiée : \[ \frac{1}{8} \]

Exercice 5

Simplifier la fraction rationnelle suivante : \[ \frac{-15 a m x^{3}}{35 b m x} \]

Étape 1 : Simplifier les coefficients numériques

Les coefficients sont -15 au numérateur et 35 au dénominateur. On peut simplifier en divisant par 5 : \[ \frac{-15}{35} = \frac{-3}{7} \]

Étape 2 : Simplifier les variables avec les mêmes bases

Pour la variable \(a\), elle n’apparaît qu’au numérateur.
Pour la variable \(m\) : \[ \frac{m}{m} = 1 \]
Pour la variable \(x\) : \[ \frac{x^{3}}{x} = x^{3-1} = x^{2} \]

Étape 3 : Assembler les simplifications

Après simplification, la fraction devient : \[ \frac{-3}{7} \times a \times 1 \times x^{2} = -\frac{3 a x^{2}}{7} \]

Réponse simplifiée : \[ -\frac{3 a x^{2}}{7} \]

Exercice 6

Simplifier la fraction rationnelle suivante : \[ \frac{57 m^{2} n^{3}}{-19 n^{2}} \]

Étape 1 : Simplifier les coefficients numériques

Les coefficients sont 57 au numérateur et -19 au dénominateur. On simplifie en divisant par 19 : \[ \frac{57}{-19} = -3 \]

Étape 2 : Simplifier les variables avec les mêmes bases

Pour la variable \(m^{2}\), elle apparaît uniquement au numérateur.
Pour la variable \(n\) : \[ \frac{n^{3}}{n^{2}} = n^{3-2} = n^{1} = n \]

Étape 3 : Assembler les simplifications

Après simplification, la fraction devient : \[ -3 \times m^{2} \times n = -3 m^{2} n \]

Réponse simplifiée : \[ -3 m^{2} n \]

Exercices 222 à 224

Cette section semble faire référence à des exercices spécifiques non fournis ici. Pour factoriser le numérateur ou le dénominateur et simplifier les facteurs communs, suivez ces étapes générales :

Factoriser le numérateur et/ou le dénominateur : Décomposer chaque partie en facteurs premiers ou en expressions plus simples.
Identifier les facteurs communs : Rechercher les facteurs qui apparaissent à la fois au numérateur et au dénominateur.
Simplifier en éliminant les facteurs communs : Diviser le numérateur et le dénominateur par les facteurs communs identifiés.
Réécrire la fraction simplifiée : Après avoir éliminé les facteurs communs, écrire la nouvelle fraction plus simple.

Exemple :

Simplifions la fraction suivante en factorisant et en éliminant les facteurs communs : \[ \frac{12 x^{2} y}{18 x y^{2}} \]

Étape 1 : Factoriser

Numérateur : \(12 x^{2} y = 2 \times 2 \times 3 \times x \times x \times y\)
Dénominateur : \(18 x y^{2} = 2 \times 3 \times 3 \times x \times y \times y\)

Étape 2 : Identifier les facteurs communs

Les facteurs communs sont : \(2\), \(3\), \(x\), et \(y\).

Étape 3 : Éliminer les facteurs communs

En annulant les facteurs communs : \[ \frac{2 \times 2 \times 3 \times x \times x \times y}{2 \times 3 \times 3 \times x \times y \times y} = \frac{2 \times x}{3 \times y} \]

Étape 4 : Réécrire la fraction simplifiée

La fraction simplifiée est : \[ \frac{2 x}{3 y} \]