Exercice 20

Simplifiez autant que possible les fractions rationnelles suivantes :

1. \(\frac{a x}{a b x}\)
   
2. \(\frac{55 x^{2} y}{35 x y^{2}}\)
   
3. \(\frac{24 a^{3} b x}{48 a^{5} b^{3} x^{4}}\)
   
4. \(-\frac{30 a^{7} b^{4}}{0,3 a^{10} b^{5}}\)
   
5. \(\frac{3 a x}{-6 a^{2}}\)
   
6. \(\frac{-7 a^{5} x^{12} y^{20}}{-14 a^{4} x y^{21}}\)

Réponse

Voici les résultats simplifiés des fractions rationnelles :

1. \(\frac{1}{b}\)

2. \(\frac{11x}{7y}\)

3. \(\frac{1}{2a^{2}b^{2}x^{3}}\)

4. \(-\frac{100}{a^{3}b}\)

5. \(-\frac{x}{2a}\)

6. \(\frac{a x^{11}}{2 y}\)

Corrigé détaillé

Voici les corrections détaillées pour chaque fraction rationnelle à simplifier :

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1) Simplifions la fraction :
\[\frac{a x}{a b x}\]

Étapes de simplification :

1. Identifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur :
   • Numérateur : \(a \times x\)
   • Dénominateur : \(a \times b \times x\)
2. Annuler les facteurs communs :
   • Le facteur \(a\) est présent en haut et en bas, donc on le simplifie.
   • Le facteur \(x\) est également présent en haut et en bas, donc on le simplifie.
3. Effectuer la simplification :
   \[\frac{\cancel{a} \times \cancel{x}}{\cancel{a} \times b \times \cancel{x}} = \frac{1}{b}\]

Résultat simplifié :
\[\frac{1}{b}\]

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2) Simplifions la fraction :
\[\frac{55 x^{2} y}{35 x y^{2}}\]

Étapes de simplification :

1. Factoriser les coefficients numéraux :

   • \(55 = 5 \times 11\)
   • \(35 = 5 \times 7\)

2. Simplifier le coefficient :
   \[\frac{55}{35} = \frac{5 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{7}\]

3. Simplifier les puissances de \(x\) :
   \[\frac{x^{2}}{x} = x^{2-1} = x^{1} = x\]

4. Simplifier les puissances de \(y\) :
   \[\frac{y}{y^{2}} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}\]

5. Assembler les simplifications :
   \[\frac{11}{7} \times x \times \frac{1}{y} = \frac{11x}{7y}\]

Résultat simplifié :
\[\frac{11x}{7y}\]

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3) Simplifions la fraction :
\[\frac{24 a^{3} b x}{48 a^{5} b^{3} x^{4}}\]

Étapes de simplification :

1. Factoriser les coefficients numéraux :

   • \(24 = 8 \times 3\)
   • \(48 = 16 \times 3\)
     Mais plus simplement, \(24\) et \(48\) sont tous deux divisibles par \(24\). \[\frac{24}{48} = \frac{1}{2}\]

2. Simplifier les puissances de \(a\) :
   \[\frac{a^{3}}{a^{5}} = a^{3-5} = a^{-2} = \frac{1}{a^{2}}\]

3. Simplifier les puissances de \(b\) :
   \[\frac{b}{b^{3}} = b^{1-3} = b^{-2} = \frac{1}{b^{2}}\]

4. Simplifier les puissances de \(x\) :
   \[\frac{x}{x^{4}} = x^{1-4} = x^{-3} = \frac{1}{x^{3}}\]

5. Assembler les simplifications :
   \[\frac{1}{2} \times \frac{1}{a^{2}} \times \frac{1}{b^{2}} \times \frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{2 a^{2} b^{2} x^{3}}\]

Résultat simplifié :
\[\frac{1}{2 a^{2} b^{2} x^{3}}\]

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4) Simplifions la fraction :
\[-\frac{30 a^{7} b^{4}}{0,3 a^{10} b^{5}}\]

Étapes de simplification :

1. Convertir le dénominateur pour éviter les décimales :
   \(0,3 = \frac{3}{10}\)
   Ainsi,
   \[-\frac{30 a^{7} b^{4}}{ \frac{3}{10} a^{10} b^{5} } = -\frac{30 a^{7} b^{4} \times 10}{3 a^{10} b^{5}} = -\frac{300 a^{7} b^{4}}{3 a^{10} b^{5}}\]

2. Simplifier le coefficient :
   \[\frac{300}{3} = 100\]
   Donc,
   \[-100 \times \frac{a^{7} b^{4}}{a^{10} b^{5}}\]

3. Simplifier les puissances de \(a\) :
   \[\frac{a^{7}}{a^{10}} = a^{7-10} = a^{-3} = \frac{1}{a^{3}}\]

4. Simplifier les puissances de \(b\) :
   \[\frac{b^{4}}{b^{5}} = b^{4-5} = b^{-1} = \frac{1}{b}\]

5. Assembler les simplifications :
   \[-100 \times \frac{1}{a^{3}} \times \frac{1}{b} = -\frac{100}{a^{3} b}\]

Résultat simplifié :
\[-\frac{100}{a^{3} b}\]

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5) Simplifions la fraction :
\[\frac{3 a x}{-6 a^{2}}\]

Étapes de simplification :

1. Simplifier le coefficient :
   \[\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}\]

2. Simplifier les puissances de \(a\) :
   \[\frac{a}{a^{2}} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}\]

3. Simplifier les puissances de \(x\) :
   Il n’y a pas de \(x\) dans le dénominateur, donc \(x\) reste au numérateur.

4. Assembler les simplifications :
   \[ -\frac{1}{2} \times \frac{1}{a} \times x = -\frac{x}{2a} \]

Résultat simplifié :
\[ -\frac{x}{2a} \]

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6) Simplifions la fraction :
\[\frac{-7 a^{5} x^{12} y^{20}}{-14 a^{4} x y^{21}}\]

Étapes de simplification :

1. Simplifier le signe de la fraction :
   Un signe négatif en haut et en bas se neutralise, donc la fraction devient positive.

2. Simplifier le coefficient :
   \[\frac{7}{14} = \frac{1}{2}\]

3. Simplifier les puissances de \(a\) :
   \[\frac{a^{5}}{a^{4}} = a^{5-4} = a^{1} = a\]

4. Simplifier les puissances de \(x\) :
   \[\frac{x^{12}}{x} = x^{12-1} = x^{11}\]

5. Simplifier les puissances de \(y\) :
   \[\frac{y^{20}}{y^{21}} = y^{20-21} = y^{-1} = \frac{1}{y}\]

6. Assembler les simplifications :
   \[ \frac{1}{2} \times a \times x^{11} \times \frac{1}{y} = \frac{a x^{11}}{2 y} \]

Résultat simplifié :
\[\frac{a x^{11}}{2 y}\]

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