Exercice 19

Simplifier autant que possible les fractions rationnelles suivantes :

\(\frac{3 x}{15 x^{2}}\)
\(\frac{5 x^{2}}{25 x y}\)
\(\frac{7 a^{3} x y^{2}}{28 a x^{2} y^{2}}\)
\(\frac{72 x^{7} y^{4} z^{3}}{64 x^{5} y^{5} z^{4}}\)
\(\frac{25 a^{3} c^{4} y}{35 a^{7} c^{6} y^{4}}\)
\(\frac{-4 a^{3} b^{12}}{-2 a^{7} b^{5}}\)

Réponse

Voici les réponses simplifiées des exercices :

\(\frac{1}{5x}\)
\(\frac{x}{5y}\)
\(\frac{a^{2}}{4x}\)
\(\frac{9x^{2}}{8yz}\)
\(\frac{5}{7a^{4}c^{2}y^{3}}\)
\(\frac{2b^{7}}{a^{4}}\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices de simplification des fractions rationnelles

Voici les corrections détaillées pour chaque exercice. Suivez les étapes pour bien comprendre le processus de simplification.

1) Simplifier \(\frac{3x}{15x^{2}}\)

Étape 1 : Identifier le numérateur et le dénominateur

Numérateur (en haut) : \(3x\)
Dénominateur (en bas) : \(15x^{2}\)

Étape 2 : Factoriser les coefficients et les variables

Coefficient : \(\frac{3}{15}\)
Variable : \(\frac{x}{x^{2}}\)

Étape 3 : Simplifier le coefficient

\(\frac{3}{15} = \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5}\)

Étape 4 : Simplifier la variable

\(\frac{x}{x^{2}} = \frac{1}{x}\)
(Remarque : \(x^{2} = x \cdot x\), donc une puissance de \(x\) dans le numérateur et une autre dans le dénominateur se simplifient)

Étape 5 : Combiner les simplifications

\(\frac{3x}{15x^{2}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{5x}\)

Réponse simplifiée :

\[ \frac{1}{5x} \]

2) Simplifier \(\frac{5x^{2}}{25xy}\)

Étape 1 : Identifier le numérateur et le dénominateur

Numérateur : \(5x^{2}\)
Dénominateur : \(25xy\)

Étape 2 : Factoriser les coefficients et les variables

Coefficient : \(\frac{5}{25}\)
Variable \(x\) : \(\frac{x^{2}}{x}\)
Variable \(y\) : Présente uniquement au dénominateur

Étape 3 : Simplifier le coefficient

\(\frac{5}{25} = \frac{5 \div 5}{25 \div 5} = \frac{1}{5}\)

Étape 4 : Simplifier la variable \(x\)

\(\frac{x^{2}}{x} = x^{2-1} = x^{1} = x\)

Étape 5 : Inclure la variable \(y\) au dénominateur

La variable \(y\) reste au dénominateur.

Étape 6 : Combiner les simplifications

\(\frac{5x^{2}}{25xy} = \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{y} = \frac{x}{5y}\)

Réponse simplifiée :

\[ \frac{x}{5y} \]

3) Simplifier \(\frac{7a^{3}xy^{2}}{28ax^{2}y^{2}}\)

Étape 1 : Identifier le numérateur et le dénominateur

Numérateur : \(7a^{3}xy^{2}\)
Dénominateur : \(28ax^{2}y^{2}\)

Étape 2 : Factoriser les coefficients et les variables

Coefficient : \(\frac{7}{28}\)
Variable \(a\) : \(\frac{a^{3}}{a}\)
Variable \(x\) : \(\frac{x}{x^{2}}\)
Variable \(y\) : \(\frac{y^{2}}{y^{2}}\)

Étape 3 : Simplifier le coefficient

\(\frac{7}{28} = \frac{7 \div 7}{28 \div 7} = \frac{1}{4}\)

Étape 4 : Simplifier la variable \(a\)

\(\frac{a^{3}}{a} = a^{3-1} = a^{2}\)

Étape 5 : Simplifier la variable \(x\)

\(\frac{x}{x^{2}} = \frac{1}{x}\)

Étape 6 : Simplifier la variable \(y\)

\(\frac{y^{2}}{y^{2}} = 1\)
(les \(y^{2}\) s’annulent)

Étape 7 : Combiner les simplifications

\(\frac{7a^{3}xy^{2}}{28ax^{2}y^{2}} = \frac{1}{4} \cdot a^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{a^{2}}{4x}\)

Réponse simplifiée :

\[ \frac{a^{2}}{4x} \]

4) Simplifier \(\frac{72x^{7}y^{4}z^{3}}{64x^{5}y^{5}z^{4}}\)

Étape 1 : Identifier le numérateur et le dénominateur

Numérateur : \(72x^{7}y^{4}z^{3}\)
Dénominateur : \(64x^{5}y^{5}z^{4}\)

Étape 2 : Factoriser les coefficients et les variables

Coefficient : \(\frac{72}{64}\)
Variable \(x\) : \(\frac{x^{7}}{x^{5}}\)
Variable \(y\) : \(\frac{y^{4}}{y^{5}}\)
Variable \(z\) : \(\frac{z^{3}}{z^{4}}\)

Étape 3 : Simplifier le coefficient

\(\frac{72}{64} = \frac{72 \div 8}{64 \div 8} = \frac{9}{8}\)

Étape 4 : Simplifier la variable \(x\)

\(\frac{x^{7}}{x^{5}} = x^{7-5} = x^{2}\)

Étape 5 : Simplifier la variable \(y\)

\(\frac{y^{4}}{y^{5}} = y^{4-5} = y^{-1} = \frac{1}{y}\)

Étape 6 : Simplifier la variable \(z\)

\(\frac{z^{3}}{z^{4}} = z^{3-4} = z^{-1} = \frac{1}{z}\)

Étape 7 : Combiner les simplifications

\(\frac{72x^{7}y^{4}z^{3}}{64x^{5}y^{5}z^{4}} = \frac{9}{8} \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} = \frac{9x^{2}}{8yz}\)

Réponse simplifiée :

\[ \frac{9x^{2}}{8yz} \]

5) Simplifier \(\frac{25a^{3}c^{4}y}{35a^{7}c^{6}y^{4}}\)

Étape 1 : Identifier le numérateur et le dénominateur

Numérateur : \(25a^{3}c^{4}y\)
Dénominateur : \(35a^{7}c^{6}y^{4}\)

Étape 2 : Factoriser les coefficients et les variables

Coefficient : \(\frac{25}{35}\)
Variable \(a\) : \(\frac{a^{3}}{a^{7}}\)
Variable \(c\) : \(\frac{c^{4}}{c^{6}}\)
Variable \(y\) : \(\frac{y}{y^{4}}\)

Étape 3 : Simplifier le coefficient

\(\frac{25}{35} = \frac{25 \div 5}{35 \div 5} = \frac{5}{7}\)

Étape 4 : Simplifier la variable \(a\)

\(\frac{a^{3}}{a^{7}} = a^{3-7} = a^{-4} = \frac{1}{a^{4}}\)

Étape 5 : Simplifier la variable \(c\)

\(\frac{c^{4}}{c^{6}} = c^{4-6} = c^{-2} = \frac{1}{c^{2}}\)

Étape 6 : Simplifier la variable \(y\)

\(\frac{y}{y^{4}} = y^{1-4} = y^{-3} = \frac{1}{y^{3}}\)

Étape 7 : Combiner les simplifications

\(\frac{25a^{3}c^{4}y}{35a^{7}c^{6}y^{4}} = \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{a^{4}} \cdot \frac{1}{c^{2}} \cdot \frac{1}{y^{3}} = \frac{5}{7a^{4}c^{2}y^{3}}\)

Réponse simplifiée :

\[ \frac{5}{7a^{4}c^{2}y^{3}} \]

6) Simplifier \(\frac{-4a^{3}b^{12}}{-2a^{7}b^{5}}\)

Étape 1 : Identifier le numérateur et le dénominateur

Numerateur : \(-4a^{3}b^{12}\)
Dénominateur : \(-2a^{7}b^{5}\)

Étape 2 : Analyser les signes

Les deux signes sont négatifs, donc le résultat sera positif.

Étape 3 : Factoriser les coefficients et les variables

Coefficient : \(\frac{-4}{-2} = \frac{4}{2}\)
Variable \(a\) : \(\frac{a^{3}}{a^{7}}\)
Variable \(b\) : \(\frac{b^{12}}{b^{5}}\)

Étape 4 : Simplifier le coefficient

\(\frac{4}{2} = 2\)

Étape 5 : Simplifier la variable \(a\)

\(\frac{a^{3}}{a^{7}} = a^{3-7} = a^{-4} = \frac{1}{a^{4}}\)

Étape 6 : Simplifier la variable \(b\)

\(\frac{b^{12}}{b^{5}} = b^{12-5} = b^{7}\)

Étape 7 : Combiner les simplifications

\(\frac{-4a^{3}b^{12}}{-2a^{7}b^{5}} = 2 \cdot \frac{1}{a^{4}} \cdot b^{7} = \frac{2b^{7}}{a^{4}}\)

Réponse simplifiée :

\[ \frac{2b^{7}}{a^{4}} \]