Exercice 14

Exercice : Division de fractions

1. Utilise les deux égalités suivantes pour déterminer une règle permettant de diviser des fractions entre elles.

\[ \frac{4}{9} : 2 = \frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \quad \frac{5}{6} : \frac{3}{4} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9} \]

2. Applique cette règle pour effectuer les divisions suivantes :

   1. \(\frac{3}{5} : 10\)

   2. \(8 : \frac{2}{3}\)

   3. \(\frac{7}{8} : \frac{3}{5}\)

   4. \(\frac{12}{13} : \frac{4}{7}\)

Réponse

Pour résumer : diviser une fraction par une autre revient à multiplier par son inverse. Ainsi,

1. (3/5) : 10 = 3/50
   
2. 8 : (2/3) = 12
   
3. (7/8) : (3/5) = 35/24
   
4. (12/13) : (4/7) = 21/13.

Corrigé détaillé

Nous allons d’abord déterminer une règle générale pour diviser des fractions, puis appliquer cette règle aux différents exercices.

────────────────────────────── 1. RÈGLE GÉNÉRALE

Remarquons les deux égalités données :

• Exemple 1 : (4/9) : 2
On peut écrire 2 sous la forme de 2/1. Ainsi, la division devient
  (4/9) : (2/1)
Pour divisionner par une fraction, on multiplie par son « inverse » (la fraction retournée) :
  (4/9) : (2/1) = (4/9) × (1/2)
Ce qui donne :
  (4×1)/(9×2) = 4/18
En simplifiant cette fraction (en divisant le numérateur et le dénominateur par 2), nous obtenons :
  4/18 = 2/9

• Exemple 2 : (5/6) : (3/4)
Ici, la division se transforme de même en multiplication par l’inverse de (3/4) :
  (5/6) : (3/4) = (5/6) × (4/3)
Ce qui donne :
  (5×4)/(6×3) = 20/18
En simplifiant (en divisant par 2), cela devient :
  20/18 = 10/9

Ainsi, la règle générale pour diviser une fraction par une autre fraction est :
  (a/b) : (c/d) = (a/b) × (d/c)

Pour une division par un entier ou un nombre entier (comme 10 ou 8), on écrit l’entier sous forme de fraction (par exemple, 10 = 10/1) et on applique la même règle.

────────────────────────────── 2. APPLICATION DE LA RÈGLE

Nous allons appliquer la règle à chaque exercice :

────────────────────────────── a) (3/5) : 10

1. Écrivons 10 sous forme de fraction : 10 = 10/1.
2. Appliquons la règle :
     (3/5) : (10/1) = (3/5) × (1/10)
3. Calculons le produit :
     Numérateur : 3 × 1 = 3
     Dénominateur : 5 × 10 = 50
     Donc, (3/5) × (1/10) = 3/50

La réponse est donc : 3/50.

────────────────────────────── b) 8 : (2/3)

1. Écrivons 8 sous forme de fraction : 8 = 8/1.
2. Appliquons la règle :
     (8/1) : (2/3) = (8/1) × (3/2)
3. Calculons le produit :
     Numérateur : 8 × 3 = 24
     Dénominateur : 1 × 2 = 2
     Donc, (8/1) × (3/2) = 24/2
4. Simplifions la fraction :
     24/2 = 12

La réponse est donc : 12.

────────────────────────────── c) (7/8) : (3/5)

1. Appliquons directement la règle :
     (7/8) : (3/5) = (7/8) × (5/3)
2. Calculons le produit :
     Numérateur : 7 × 5 = 35
     Dénominateur : 8 × 3 = 24
     Donc, (7/8) × (5/3) = 35/24

La fraction 35/24 ne se simplifie pas davantage (les nombres 35 et 24 n’ont aucun diviseur commun autre que 1).

La réponse est donc : 35/24.

────────────────────────────── d) (12/13) : (4/7)

1. Appliquons la règle :
     (12/13) : (4/7) = (12/13) × (7/4)
2. Calculons le produit :
     Numérateur : 12 × 7 = 84
     Dénominateur : 13 × 4 = 52
     Donc, (12/13) × (7/4) = 84/52
3. Simplifions la fraction :
     Les deux nombres sont divisibles par 4.
     84 ÷ 4 = 21
     52 ÷ 4 = 13
     Donc, 84/52 = 21/13

La réponse est donc : 21/13.

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

1. Règle générale : Diviser une fraction par une autre revient à multiplier par l’inverse de la seconde fraction, c’est-à-dire,
     (a/b) : (c/d) = (a/b) × (d/c).

2. Application :
     a) (3/5) : 10 = 3/50
     b) 8 : (2/3) = 12
     c) (7/8) : (3/5) = 35/24
     d) (12/13) : (4/7) = 21/13

Cette démarche vous permet de diviser facilement des fractions en transformant la division en multiplication par l’inverse de la fraction divisante.