Question : Simplifie pour obtenir une fraction irréductible.
\(\frac{6 \times 20 \times 15}{30 \times 12 \times 25} =\)
\(\frac{2^{3} \times 3 \times 5^{2}}{2^{2} \times 3^{2} \times 5} =\)
Nous allons simplifier chacune des fractions pas à pas.
────────────────────────────── EXERCICE A : Simplifier la fraction suivante :
(6 × 20 × 15) ÷ (30 × 12 × 25)
Méthode 1 : Par factorisation et annulation des facteurs communs
• 6 = 2 × 3
• 20 = 2² × 5
• 15 = 3 × 5
Donc, le numérateur s’écrit :
6 × 20 × 15 = (2 × 3) × (2² × 5) × (3 × 5)
= 2^(1+2) × 3^(1+1) × 5^(1+1)
= 2³ × 3² × 5²
• 30 = 2 × 3 × 5
• 12 = 2² × 3
• 25 = 5²
Donc, le dénominateur s’écrit :
30 × 12 × 25 = (2 × 3 × 5) × (2² × 3) × (5²)
= 2^(1+2) × 3^(1+1) × 5^(1+2)
= 2³ × 3² × 5³
Écrivons alors la fraction sous forme factorisée : (2³ × 3² × 5²) ÷ (2³ × 3² × 5³)
On annule les facteurs communs du numérateur et du dénominateur :
- Les 2³ s’annulent - Les 3² s’annulent
- Pour le facteur 5, il reste 5^(2-3) = 5^(-1), c’est-à-dire :
(5² ÷ 5³) = 1 ÷ 5
On obtient donc : Fraction = 1 ÷ 5, soit 1/5.
────────────────────────────── EXERCICE B : Simplifier la fraction suivante :
(2³ × 3 × 5²) ÷ (2² × 3² × 5)
Procédons de la même manière :
Écrivons les puissances pour chaque nombre déjà données sous
forme factorisée. Le numérateur est : 2³ × 3 × 5²
Le dénominateur est : 2² × 3² × 5
Simplifions chaque type de facteur en effectuant la soustraction des exposants pour les bases semblables :
• Pour la base 2 :
2³ ÷ 2² = 2^(3-2) = 2
• Pour la base 3 :
3 ÷ 3² = 3^(1-2) = 3^(-1) = 1⁄3
• Pour la base 5 :
5² ÷ 5 = 5^(2-1) = 5
La fraction 10/3 est irréductible car 10 et 3 n’ont aucun diviseur commun autre que 1.
────────────────────────────── RÉSUMÉ DES RÉSULTATS :
Ces simplifications montrent comment, par la décomposition en facteurs premiers et l’annulation des facteurs communs, on peut obtenir des fractions irréductibles.