Exercice 10

Simplifiez les expressions suivantes :

1. \(\frac{x+4}{4} + \frac{x-3}{3}\)

2. \(\frac{x}{4} - \frac{x-2}{5}\)

3. \(\frac{2x+1}{2} - \frac{2-3x}{3}\)

4. \(\frac{x}{5} - \frac{2x+1}{2} + \frac{5-4x}{10}\)

5. \(\frac{x-1}{3} - \frac{2x-3}{6} + \frac{2x+1}{2}\)

6. \(\frac{2x+2}{6} - \frac{12x-4}{24} + \frac{6x+9}{27}\)

Réponse

Les expressions ont été simplifiées en trouvant un dénominateur commun, en combinant les fractions et en réduisant le résultat final.

Corrigé détaillé

Correction des Exercices

1) Simplifiez l’expression \(\frac{x+4}{4} + \frac{x-3}{3}\)

Pour simplifier cette expression, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Trouver un dénominateur commun :

   • Les dénominateurs sont 4 et 3.
   • Le plus petit multiple commun (PMC) de 4 et 3 est 12.

2. Écrire chaque fraction avec le dénominateur commun : \[ \frac{x+4}{4} = \frac{(x+4) \times 3}{4 \times 3} = \frac{3(x+4)}{12} \] \[ \frac{x-3}{3} = \frac{(x-3) \times 4}{3 \times 4} = \frac{4(x-3)}{12} \]

3. Additionner les fractions : \[ \frac{3(x+4)}{12} + \frac{4(x-3)}{12} = \frac{3(x+4) + 4(x-3)}{12} \]

4. Développer le numérateur : \[ 3(x + 4) + 4(x - 3) = 3x + 12 + 4x - 12 = 7x \]

5. Simplifier l’expression : \[ \frac{7x}{12} \]

Réponse simplifiée : \[ \frac{7x}{12} \]

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2) Simplifiez l’expression \(\frac{x}{4} - \frac{x-2}{5}\)

1. Trouver un dénominateur commun :

   • Les dénominateurs sont 4 et 5.
   • Le PMC de 4 et 5 est 20.

2. Écrire chaque fraction avec le dénominateur commun : \[ \frac{x}{4} = \frac{x \times 5}{4 \times 5} = \frac{5x}{20} \] \[ \frac{x-2}{5} = \frac{(x-2) \times 4}{5 \times 4} = \frac{4(x-2)}{20} \]

3. Soustraire les fractions : \[ \frac{5x}{20} - \frac{4(x-2)}{20} = \frac{5x - 4(x-2)}{20} \]

4. Développer le numérateur : \[ 5x - 4(x - 2) = 5x - 4x + 8 = x + 8 \]

5. Simplifier l’expression : \[ \frac{x + 8}{20} \]

Réponse simplifiée : \[ \frac{x + 8}{20} \]

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3) Simplifiez l’expression \(\frac{2x+1}{2} - \frac{2-3x}{3}\)

1. Trouver un dénominateur commun :

   • Les dénominateurs sont 2 et 3.
   • Le PMC de 2 et 3 est 6.

2. Écrire chaque fraction avec le dénominateur commun : \[ \frac{2x + 1}{2} = \frac{(2x + 1) \times 3}{2 \times 3} = \frac{3(2x + 1)}{6} \] \[ \frac{2 - 3x}{3} = \frac{(2 - 3x) \times 2}{3 \times 2} = \frac{2(2 - 3x)}{6} \]

3. Soustraire les fractions : \[ \frac{3(2x + 1)}{6} - \frac{2(2 - 3x)}{6} = \frac{3(2x + 1) - 2(2 - 3x)}{6} \]

4. Développer le numérateur : \[ 3(2x + 1) - 2(2 - 3x) = 6x + 3 - 4 + 6x = 12x - 1 \]

5. Simplifier l’expression : \[ \frac{12x - 1}{6} \]

Réponse simplifiée : \[ \frac{12x - 1}{6} \]

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4) Simplifiez l’expression \(\frac{x}{5} - \frac{2x+1}{2} + \frac{5-4x}{10}\)

1. Trouver un dénominateur commun :

   • Les dénominateurs sont 5, 2 et 10.
   • Le PMC de 5, 2 et 10 est 10.

2. Écrire chaque fraction avec le dénominateur commun : \[ \frac{x}{5} = \frac{x \times 2}{5 \times 2} = \frac{2x}{10} \] \[ \frac{2x + 1}{2} = \frac{(2x + 1) \times 5}{2 \times 5} = \frac{5(2x + 1)}{10} \] \[ \frac{5 - 4x}{10} \quad (\text{dénominateur déjà } 10) \]

3. Réécrire l’expression : \[ \frac{2x}{10} - \frac{5(2x + 1)}{10} + \frac{5 - 4x}{10} \]

4. Combiner les fractions : \[ \frac{2x - 5(2x + 1) + (5 - 4x)}{10} \]

5. Développer le numérateur : \[ 2x - 10x - 5 + 5 - 4x = (2x - 10x - 4x) + (-5 + 5) = -12x + 0 = -12x \]

6. Simplifier l’expression : \[ \frac{-12x}{10} = \frac{-6x}{5} \]

Réponse simplifiée : \[ -\frac{6x}{5} \]

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5) Simplifiez l’expression \(\frac{x-1}{3} - \frac{2x-3}{6} + \frac{2x+1}{2}\)

1. Trouver un dénominateur commun :

   • Les dénominateurs sont 3, 6 et 2.
   • Le PMC de 3, 6 et 2 est 6.

2. Écrire chaque fraction avec le dénominateur commun : \[ \frac{x - 1}{3} = \frac{(x - 1) \times 2}{3 \times 2} = \frac{2(x - 1)}{6} \] \[ \frac{2x - 3}{6} \quad (\text{dénominateur déjà } 6) \] \[ \frac{2x + 1}{2} = \frac{(2x + 1) \times 3}{2 \times 3} = \frac{3(2x + 1)}{6} \]

3. Réécrire l’expression : \[ \frac{2(x - 1)}{6} - \frac{2x - 3}{6} + \frac{3(2x + 1)}{6} \]

4. Combiner les fractions : \[ \frac{2(x - 1) - (2x - 3) + 3(2x + 1)}{6} \]

5. Développer le numérateur : \[ 2x - 2 - 2x + 3 + 6x + 3 = (2x - 2x + 6x) + (-2 + 3 + 3) = 6x + 4 \]

6. Simplifier l’expression : \[ \frac{6x + 4}{6} = \frac{2(3x + 2)}{6} = \frac{3x + 2}{3} \]

Réponse simplifiée : \[ \frac{3x + 2}{3} \]

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6) Simplifiez l’expression \(\frac{2x+2}{6} - \frac{12x-4}{24} + \frac{6x+9}{27}\)

1. Simplifier chaque fraction si possible : \[ \frac{2x + 2}{6} = \frac{2(x + 1)}{6} = \frac{x + 1}{3} \] \[ \frac{12x - 4}{24} = \frac{4(3x - 1)}{24} = \frac{3x - 1}{6} \] \[ \frac{6x + 9}{27} = \frac{3(2x + 3)}{27} = \frac{2x + 3}{9} \]

2. Trouver un dénominateur commun :

   • Les dénominateurs sont 3, 6 et 9.
   • Le PMC de 3, 6 et 9 est 18.

3. Écrire chaque fraction avec le dénominateur commun : \[ \frac{x + 1}{3} = \frac{(x + 1) \times 6}{3 \times 6} = \frac{6(x + 1)}{18} \] \[ \frac{3x - 1}{6} = \frac{(3x - 1) \times 3}{6 \times 3} = \frac{9x - 3}{18} \] \[ \frac{2x + 3}{9} = \frac{(2x + 3) \times 2}{9 \times 2} = \frac{4x + 6}{18} \]

4. Réécrire l’expression : \[ \frac{6(x + 1)}{18} - \frac{9x - 3}{18} + \frac{4x + 6}{18} \]

5. Combiner les fractions : \[ \frac{6(x + 1) - (9x - 3) + (4x + 6)}{18} \]

6. Développer le numérateur : \[ 6x + 6 - 9x + 3 + 4x + 6 = (6x - 9x + 4x) + (6 + 3 + 6) = x + 15 \]

7. Simplifier l’expression : \[ \frac{x + 15}{18} = \frac{x}{18} + \frac{15}{18} = \frac{x}{18} + \frac{5}{6} \]

   Ou, si on préfère laisser sous une seule fraction : \[ \frac{x + 15}{18} \]

Réponse simplifiée : \[ \frac{x + 15}{18} \quad \text{ou} \quad \frac{x}{18} + \frac{5}{6} \]