Exercice 9

1. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\frac{4 x^{4} y^{3} z}{40 x y^{4} z^{2}}\]

2. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\frac{81 a^{6} b^{2}}{-9 a^{3} b^{4}}\]

3. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\frac{2 x^{2} y^{3} z}{0,2 x^{2} y^{3} z^{2}}\]

4. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\frac{-24 a^{5} b c^{2}}{36 a^{6} b^{2} c^{4}}\]

5. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\frac{0,3 x^{2} y^{3}}{3 x^{2} y^{3}}\]

6. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\frac{-5^{2} x^{8} y^{6} z^{2}}{-5 x^{4} y^{2} z}\]

Réponse

1. x³/(10 y z)
   
2. –9 a³/b²
   
3. 10/z
   
4. –2/(3 a b c²)
   
5. 1/10 (ou 0,1)
   
6. 5 x⁴ y⁴ z

Corrigé détaillé

Nous allons simplifier chacune des expressions en réduisant les coefficients numériques et en appliquant la règle des exposants pour les variables. Pour rappel, lorsque l’on divise deux puissances de même base, on soustrait les exposants :
  a^m / a^n = a^(m–n).

────────────────────────────── Exercice 1
Expression : (4 x⁴ y³ z) / (40 x y⁴ z²)

1. Coefficients numériques :
     4 / 40 se simplifie en 1/10.

2. Variable x :
     x⁴ / x = x^(4–1) = x³.

3. Variable y :
     y³ / y⁴ = y^(3–4) = y^(–1) = 1/y.

4. Variable z :
     z / z² = z^(1–2) = z^(–1) = 1/z.

En combinant le tout :
  (1/10) · x³ · (1/y) · (1/z) = x³ / (10 y z).

────────────────────────────── Exercice 2
Expression : (81 a⁶ b²) / (–9 a³ b⁴)

1. Coefficients numériques :
     81 / (–9) = –9.

2. Variable a :
     a⁶ / a³ = a^(6–3) = a³.

3. Variable b :
     b² / b⁴ = b^(2–4) = b^(–2) = 1/b².

La forme simplifiée est :
  –9 a³ / b².

────────────────────────────── Exercice 3
Expression : (2 x² y³ z) / (0,2 x² y³ z²)

1. Coefficients numériques :
     2 / 0,2 = 10
     (en multipliant numérateur et dénominateur par 5, par exemple).

2. Variable x :
     x² / x² = 1.

3. Variable y :
     y³ / y³ = 1.

4. Variable z :
     z / z² = z^(1–2) = 1/z.

Ainsi, l’expression se simplifie en :
  10 / z.

────────────────────────────── Exercice 4
Expression : (–24 a⁵ b c²) / (36 a⁶ b² c⁴)

1. Coefficients numériques :
     –24 / 36 = –(24/36) = –(2/3) après réduction (diviser par 12).

2. Variable a :
     a⁵ / a⁶ = a^(5–6) = a^(–1) = 1/a.

3. Variable b :
     b / b² = b^(1–2) = b^(–1) = 1/b.

4. Variable c :
     c² / c⁴ = c^(2–4) = c^(–2) = 1/c².

En combinant ces résultats :
  –(2/3) · (1/a) · (1/b) · (1/c²) = –2/(3a b c²).

────────────────────────────── Exercice 5
Expression : (0,3 x² y³) / (3 x² y³)

1. Les variables x² et y³ se simplifient directement (elles sont identiques dans le numérateur et le dénominateur).

2. Coefficients numériques :
     0,3 / 3 = 0,1
     (0,1 peut être écrit aussi sous forme de fraction 1/10).

La forme simplifiée est donc :
  1/10 ou 0,1.

────────────────────────────── Exercice 6
Expression : [–5² x⁸ y⁶ z²] / [–5 x⁴ y² z]

Prudence avec le coefficient : –5² signifie ici –(5²) = –25.

1. Coefficients numériques :
     (–25) / (–5) = 25/5 = 5
     (Le signe négatif se simplifie car le quotient de deux nombres négatifs est positif.)

2. Variable x :
     x⁸ / x⁴ = x^(8–4) = x⁴.

3. Variable y :
     y⁶ / y² = y^(6–2) = y⁴.

4. Variable z :
     z² / z = z^(2–1) = z.

On obtient ainsi :
  5 x⁴ y⁴ z.

────────────────────────────── Récapitulatif des résultats :

1. x³ / (10 y z)
   
2. –9 a³ / b²
   
3. 10 / z
   
4. –2/(3a b c²)
   
5. 1/10 (où 0,1)
   
6. 5 x⁴ y⁴ z

Ces étapes montrent comment simplifier chaque expression en réduisant les coefficients et en appliquant la soustraction des exposants pour les mêmes bases.