Exercice 6

Montrer que, si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), alors

1. \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)

2. \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)

3. \(\frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d}\)

Réponse

À partir de \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), on obtient \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\) en inversant les fractions. En croisant les termes, on montre que \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\). Enfin, en substituant \(a\) par \(\frac{b \times c}{d}\), on démontre que \(\frac{a + c}{b + d} = \frac{c}{d}\).

Corrigé détaillé

Pour montrer les différentes égalités, partons de l’hypothèse que \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Cela signifie que les deux fractions sont équivalentes.

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]

En croisant les termes, on obtient :

\[ a \times d = b \times c \quad \text{(1)} \]

Utilisons cette équation de base pour démontrer chaque affirmation.

1) Montrer que \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)

Étape 1 : Inverser les fractions initiales

Nous avons :

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]

En inversant les deux fractions, on obtient :

\[ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \]

Justification :

Si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), alors l’inversion des deux côtés de l’égalité donne \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\).

Conclusion :

\[ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \]

2) Montrer que \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)

Étape 1 : Partir de l’équation (1)

Nous avons :

\[ a \times d = b \times c \]

Étape 2 : Isoler \(\frac{a}{c}\) et \(\frac{b}{d}\)

Divisons les deux côtés de l’équation par \(c \times d\) :

\[ \frac{a \times d}{c \times d} = \frac{b \times c}{c \times d} \]

Simplifions :

\[ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \]

Conclusion :

\[ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \]

3) Montrer que \(\frac{a + c}{b + d} = \frac{c}{d}\)

Étape 1 : Partir de l’équation (1)

Nous savons que :

\[ a \times d = b \times c \quad \text{(1)} \]

Étape 2 : Exprimer \(a\) en fonction de \(b\), \(c\), et \(d\)

À partir de l’équation (1) :

\[ a = \frac{b \times c}{d} \]

Étape 3 : Substituer \(a\) dans l’expression \(\frac{a + c}{b + d}\)

Remplaçons \(a\) :

\[ \frac{\frac{b \times c}{d} + c}{b + d} \]

Étape 4 : Mettre au même dénominateur le numérateur

Factorisons \(c\) dans le numérateur :

\[ \frac{c \left( \frac{b}{d} + 1 \right)}{b + d} = \frac{c \left( \frac{b + d}{d} \right)}{b + d} \]

Étape 5 : Simplifier l’expression

Les termes \(b + d\) se simplifient :

\[ \frac{c}{d} \]

Conclusion :

\[ \frac{a + c}{b + d} = \frac{c}{d} \]

Ainsi, nous avons démontré les trois égalités à partir de l’hypothèse initiale \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).