Effectuez les opérations suivantes et simplifiez le résultat si nécessaire :
\(\frac{a}{a - b} - \frac{a b}{a^{2} - b^{2}}\)
\(\frac{1}{x + y} + \frac{2 y}{x^{2} - y^{2}}\)
\(\frac{a^{2}}{x^{2} - a^{2}} + \frac{a}{a - x}\)
\(\frac{1}{x^{2} - y^{2}} - \frac{1}{x^{2} - x y}\)
\(\frac{x}{x^{2} + 2 x y + y^{2}} - \frac{y}{y^{2} - x^{2}}\)
\(\frac{5 a}{a - x} - \frac{a}{a + x} - \frac{2 a x}{a^{2} - x^{2}}\)
Étape 1 : Identifier le dénominateur commun
Le premier terme a pour dénominateur \(a - b\) et le deuxième terme a pour dénominateur \(a^2 - b^2\). On reconnaît que \(a^2 - b^2\) peut être factorisé en \((a - b)(a + b)\).
Étape 2 : Réécrire les fractions avec le même dénominateur
Le dénominateur commun est \((a - b)(a + b)\).
Le premier terme devient : \[ \frac{a}{a - b} = \frac{a(a + b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{a(a + b)}{a^2 - b^2} \]
Le deuxième terme reste : \[ \frac{a b}{a^{2} - b^{2}} \]
Étape 3 : Soustraire les fractions
Maintenant que les dénominateurs sont identiques, on peut soustraire les numérateurs : \[ \frac{a(a + b) - a b}{a^2 - b^2} = \frac{a^2 + a b - a b}{a^2 - b^2} = \frac{a^2}{a^2 - b^2} \]
Étape 4 : Simplifier le résultat
On constate que \(\frac{a^2}{a^2 - b^2}\) ne peut pas être simplifié davantage.
Réponse finale : \[ \frac{a^2}{a^2 - b^2} \]
Étape 1 : Factoriser le dénominateur du deuxième terme
Le dénominateur \(x^2 - y^2\) peut être factorisé en \((x - y)(x + y)\).
Étape 2 : Trouver le dénominateur commun
Le premier dénominateur est \(x + y\) et le deuxième est \((x - y)(x + y)\). Le dénominateur commun est donc \((x - y)(x + y)\).
Étape 3 : Réécrire les fractions avec le dénominateur commun
Le premier terme devient : \[ \frac{1}{x + y} = \frac{1 \cdot (x - y)}{(x + y)(x - y)} = \frac{x - y}{x^2 - y^2} \]
Le deuxième terme reste : \[ \frac{2 y}{x^{2} - y^{2}} \]
Étape 4 : Additionner les fractions
\[ \frac{x - y + 2 y}{x^2 - y^2} = \frac{x + y}{x^2 - y^2} \]
Étape 5 : Simplifier le résultat
On peut factoriser le numérateur \(x + y\) et le dénominateur \(x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)\) : \[ \frac{x + y}{(x + y)(x - y)} = \frac{1}{x - y} \]
Réponse finale : \[ \frac{1}{x - y} \]
Étape 1 : Simplifier les dénominateurs
Remarquons que \(a - x = -(x - a)\). Ainsi : \[ \frac{a}{a - x} = \frac{a}{-(x - a)} = -\frac{a}{x - a} \]
Étape 2 : Écrire le dénominateur commun
Le dénominateur \(x^2 - a^2\) peut être factorisé en \((x - a)(x + a)\). Le dénominateur commun est donc \((x - a)(x + a)\).
Étape 3 : Réécrire les fractions avec le dénominateur commun
Le premier terme reste : \[ \frac{a^{2}}{x^{2} - a^{2}} = \frac{a^{2}}{(x - a)(x + a)} \]
Le deuxième terme devient : \[ -\frac{a}{x - a} = -\frac{a(x + a)}{(x - a)(x + a)} = -\frac{a(x + a)}{x^2 - a^2} \]
Étape 4 : Additionner les fractions
\[ \frac{a^{2} - a(x + a)}{x^2 - a^2} = \frac{a^{2} - a x - a^{2}}{x^2 - a^2} = \frac{-a x}{x^2 - a^2} \]
Étape 5 : Simplifier le résultat
On peut factoriser le numérateur : \[ \frac{-a x}{(x - a)(x + a)} = -\frac{a x}{(x - a)(x + a)} \]
Réponse finale : \[ -\frac{a x}{(x - a)(x + a)} \]
Étape 1 : Factoriser les dénominateurs
Étape 2 : Trouver le dénominateur commun
Le dénominateur commun est \((x - y)(x + y)x\).
Étape 3 : Réécrire les fractions avec le dénominateur commun
Le premier terme devient : \[ \frac{1}{(x - y)(x + y)} = \frac{x}{(x - y)(x + y)x} = \frac{x}{(x - y)(x + y)x} \]
Le deuxième terme devient : \[ \frac{1}{x(x - y)} = \frac{x + y}{x(x - y)(x + y)} = \frac{x + y}{(x - y)(x + y)x} \]
Étape 4 : Soustraire les fractions
\[ \frac{x - (x + y)}{(x - y)(x + y)x} = \frac{x - x - y}{(x - y)(x + y)x} = \frac{-y}{(x - y)(x + y)x} \]
Étape 5 : Simplifier le résultat
Le résultat final est : \[ -\frac{y}{x(x - y)(x + y)} \]
Réponse finale : \[ -\frac{y}{x(x - y)(x + y)} \]
Étape 1 : Factoriser les dénominateurs
Étape 2 : Réécrire les termes
Le premier terme : \[ \frac{x}{(x + y)^2} \]
Le deuxième terme : \[ \frac{y}{y^2 - x^2} = -\frac{y}{(x - y)(x + y)} \]
Étape 3 : Trouver le dénominateur commun
Le dénominateur commun est \((x + y)^2 (x - y)\).
Étape 4 : Réécrire les fractions avec le dénominateur commun
Le premier terme devient : \[ \frac{x (x - y)}{(x + y)^2 (x - y)} = \frac{x (x - y)}{(x + y)^2 (x - y)} \]
Le deuxième terme devient : \[ -\frac{y (x + y)}{(x + y)^2 (x - y)} = -\frac{y (x + y)}{(x + y)^2 (x - y)} \]
Étape 5 : Soustraire les fractions
\[ \frac{x (x - y) - y (x + y)}{(x + y)^2 (x - y)} = \frac{x^2 - x y - y x - y^2}{(x + y)^2 (x - y)} = \frac{x^2 - 2x y - y^2}{(x + y)^2 (x - y)} \]
Étape 6 : Simplifier le numérateur
Le numérateur peut être réécrit comme : \[ x^2 - 2x y - y^2 = (x - y)^2 - 2y^2 - x^2 + ... \text{(Non factorisable facilement)} \] Ainsi, la forme simplifiée est : \[ \frac{x^2 - 2x y - y^2}{(x + y)^2 (x - y)} \]
Réponse finale : \[ \frac{x^2 - 2x y - y^2}{(x + y)^2 (x - y)} \]
Étape 1 : Factoriser le dénominateur du troisième terme
\(a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)\)
Étape 2 : Trouver le dénominateur commun
Le dénominateur commun est \((a - x)(a + x)\).
Étape 3 : Réécrire les fractions avec le dénominateur commun
Le premier terme devient : \[ \frac{5a}{a - x} = \frac{5a(a + x)}{(a - x)(a + x)} = \frac{5a(a + x)}{a^2 - x^2} \]
Le deuxième terme devient : \[ -\frac{a}{a + x} = -\frac{a(a - x)}{(a + x)(a - x)} = -\frac{a(a - x)}{a^2 - x^2} \]
Le troisième terme reste : \[ -\frac{2 a x}{a^{2} - x^{2}} \]
Étape 4 : Additionner les fractions
\[ \frac{5a(a + x) - a(a - x) - 2a x}{a^2 - x^2} \]
Développons le numérateur : \[ 5a(a + x) = 5a^2 + 5a x \] \[ -a(a - x) = -a^2 + a x \] \[ -2a x = -2a x \] Ainsi : \[ 5a^2 + 5a x - a^2 + a x - 2a x = (5a^2 - a^2) + (5a x + a x - 2a x) = 4a^2 + 4a x \]
Étape 5 : Factoriser le numérateur
\[ 4a^2 + 4a x = 4a(a + x) \]
Étape 6 : Simplifier la fraction
\[ \frac{4a(a + x)}{a^2 - x^2} = \frac{4a(a + x)}{(a - x)(a + x)} = \frac{4a}{a - x} \]
Réponse finale : \[ \frac{4a}{a - x} \]