Effectuez les opérations suivantes et simplifiez le résultat si nécessaire :
Étape 1 : Analyser les fractions Nous avons deux fractions à additionner : \[ \frac{x+y}{x} \quad \text{et} \quad \frac{x+y}{y} \]
Étape 2 : Mettre les fractions sous un même dénominateur Le dénominateur commun est \(xy\). Pour la première fraction, multiplions le numérateur et le dénominateur par \(y\) : \[ \frac{x+y}{x} = \frac{(x+y) \cdot y}{x \cdot y} = \frac{y(x + y)}{xy} \] Pour la deuxième fraction, multiplions le numérateur et le dénominateur par \(x\) : \[ \frac{x+y}{y} = \frac{(x+y) \cdot x}{y \cdot x} = \frac{x(x + y)}{xy} \]
Étape 3 : Additionner les fractions Maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on peut additionner les numérateurs : \[ \frac{y(x + y) + x(x + y)}{xy} \]
Étape 4 : Factoriser le numérateur Factorisons \((x + y)\) : \[ \frac{(x + y)(y + x)}{xy} = \frac{(x + y)(x + y)}{xy} = \frac{(x + y)^2}{xy} \]
Résultat final : \[ \frac{(x + y)^2}{xy} \]
Étape 1 : Analyser les fractions Nous avons deux fractions à soustraire : \[ \frac{a+b}{a} \quad \text{et} \quad \frac{b-a}{b} \]
Étape 2 : Mettre les fractions sous un même dénominateur Le dénominateur commun est \(ab\). Pour la première fraction, multiplions le numérateur et le dénominateur par \(b\) : \[ \frac{a+b}{a} = \frac{(a+b) \cdot b}{a \cdot b} = \frac{b(a + b)}{ab} \] Pour la deuxième fraction, multiplions le numérateur et le dénominateur par \(a\) : \[ \frac{b-a}{b} = \frac{(b - a) \cdot a}{b \cdot a} = \frac{a(b - a)}{ab} \]
Étape 3 : Soustraire les fractions Maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on peut soustraire les numérateurs : \[ \frac{b(a + b) - a(b - a)}{ab} \]
Étape 4 : Développer le numérateur Développons les expressions dans le numérateur : \[ b(a + b) = ab + b^2 \] \[ a(b - a) = ab - a^2 \] Ainsi, \[ ab + b^2 - (ab - a^2) = ab + b^2 - ab + a^2 = a^2 + b^2 \]
Résultat final : \[ \frac{a^2 + b^2}{ab} \]
Étape 1 : Analyser les fractions Nous avons deux fractions à soustraire : \[ \frac{y-x}{2xz} \quad \text{et} \quad \frac{y-x}{2yz} \]
Étape 2 : Mettre les fractions sous un même dénominateur Le dénominateur commun est \(2xyz\). Pour la première fraction, multiplions le numérateur et le dénominateur par \(y\) : \[ \frac{y-x}{2xz} = \frac{(y - x) \cdot y}{2xz \cdot y} = \frac{y(y - x)}{2xyz} \] Pour la deuxième fraction, multiplions le numérateur et le dénominateur par \(x\) : \[ \frac{y-x}{2yz} = \frac{(y - x) \cdot x}{2yz \cdot x} = \frac{x(y - x)}{2xyz} \]
Étape 3 : Soustraire les fractions Maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on peut soustraire les numérateurs : \[ \frac{y(y - x) - x(y - x)}{2xyz} \]
Étape 4 : Factoriser le numérateur Factorisons \((y - x)\) : \[ \frac{(y - x)(y - x)}{2xyz} = \frac{(y - x)^2}{2xyz} \]
Résultat final : \[ \frac{(y - x)^2}{2xyz} \]
Étape 1 : Analyser les fractions Nous avons deux fractions à additionner : \[ \frac{2a + b}{a} \quad \text{et} \quad \frac{a - 2b^{2}}{2ab} \]
Étape 2 : Mettre les fractions sous un même dénominateur Le dénominateur commun est \(2a b\). Pour la première fraction, multiplions le numérateur et le dénominateur par \(2b\) : \[ \frac{2a + b}{a} = \frac{(2a + b) \cdot 2b}{a \cdot 2b} = \frac{2b(2a + b)}{2ab} \] La deuxième fraction est déjà sur le dénominateur \(2ab\) : \[ \frac{a - 2b^{2}}{2ab} \]
Étape 3 : Additionner les fractions \[ \frac{2b(2a + b) + (a - 2b^{2})}{2ab} \]
Étape 4 : Développer le numérateur Développons les termes : \[ 2b(2a + b) = 4ab + 2b^2 \] Ainsi, \[ 4ab + 2b^2 + a - 2b^{2} = 4ab + a \] Factorisons \(a\) : \[ a(4b + 1) \]
Résultat final : \[ \frac{a(4b + 1)}{2ab} \] Simplifions en annulant \(a\) : \[ \frac{4b + 1}{2b} \]
Étape 1 : Analyser les termes Nous avons trois termes à soustraire et à additionner : \[ \frac{2x - 1}{2x}, \quad \frac{2x^{2} - 3}{3x^{2}}, \quad \text{et} \quad \frac{1}{3} \]
Étape 2 : Mettre tous les termes sous un même dénominateur Le dénominateur commun est \(6x^{2}\). Multiplions chaque terme pour obtenir ce dénominateur :
Pour \(\frac{2x - 1}{2x}\), multiplions par \(3x\) : \[ \frac{2x - 1}{2x} = \frac{(2x - 1) \cdot 3x}{2x \cdot 3x} = \frac{3x(2x - 1)}{6x^{2}} \]
Pour \(\frac{2x^{2} - 3}{3x^{2}}\), multiplions par \(2\) : \[ \frac{2x^{2} - 3}{3x^{2}} = \frac{(2x^{2} - 3) \cdot 2}{3x^{2} \cdot 2} = \frac{2(2x^{2} - 3)}{6x^{2}} \]
Pour \(\frac{1}{3}\), multiplions par \(2x^{2}\) : \[ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2x^{2}}{3 \cdot 2x^{2}} = \frac{2x^{2}}{6x^{2}} \]
Étape 3 : Réécrire l’expression avec le même dénominateur \[ \frac{3x(2x - 1)}{6x^{2}} - \frac{2(2x^{2} - 3)}{6x^{2}} - \frac{2x^{2}}{6x^{2}} \]
Étape 4 : Combiner les termes Regroupons les numérateurs : \[ \frac{3x(2x - 1) - 2(2x^{2} - 3) - 2x^{2}}{6x^{2}} \]
Étape 5 : Développer et simplifier le numérateur Développons chaque terme : \[ 3x(2x - 1) = 6x^{2} - 3x \] \[ -2(2x^{2} - 3) = -4x^{2} + 6 \] \[ -2x^{2} = -2x^{2} \] Ainsi, le numérateur devient : \[ 6x^{2} - 3x - 4x^{2} + 6 - 2x^{2} = (6x^{2} - 4x^{2} - 2x^{2}) - 3x + 6 = 0x^{2} - 3x + 6 = -3x + 6 \]
Résultat final : \[ \frac{-3x + 6}{6x^{2}} = \frac{-3(x - 2)}{6x^{2}} = \frac{-(x - 2)}{2x^{2}} = \frac{2 - x}{2x^{2}} \]
Étape 1 : Analyser les fractions Nous avons trois fractions à additionner : \[ \frac{a - b}{ab}, \quad \frac{b - c}{bc}, \quad \text{et} \quad \frac{c - a}{ac} \]
Étape 2 : Mettre les fractions sous un même dénominateur Le dénominateur commun est \(abc\). Ajustons chaque fraction :
Pour \(\frac{a - b}{ab}\), multiplions par \(c\) : \[ \frac{a - b}{ab} = \frac{(a - b)c}{ab \cdot c} = \frac{c(a - b)}{abc} \]
Pour \(\frac{b - c}{bc}\), multiplions par \(a\) : \[ \frac{b - c}{bc} = \frac{(b - c)a}{bc \cdot a} = \frac{a(b - c)}{abc} \]
Pour \(\frac{c - a}{ac}\), multiplions par \(b\) : \[ \frac{c - a}{ac} = \frac{(c - a)b}{ac \cdot b} = \frac{b(c - a)}{abc} \]
Étape 3 : Additionner les fractions \[ \frac{c(a - b) + a(b - c) + b(c - a)}{abc} \]
Étape 4 : Développer le numérateur Développons chaque terme : \[ c(a - b) = ac - bc \] \[ a(b - c) = ab - ac \] \[ b(c - a) = bc - ab \] Ainsi, le numérateur devient : \[ (ac - bc) + (ab - ac) + (bc - ab) = ac - bc + ab - ac + bc - ab = 0 \]
Résultat final : \[ \frac{0}{abc} = 0 \]