Exercice 3

Question : Cinq amis ont décidé de partager une cagette de pommes de la manière suivante :
Julien prend \(\frac{1}{6}\) de la récolte, puis Camille prend \(\frac{1}{3}\) des pommes restantes. Ensuite, Yann prend \(\frac{1}{2}\) des pommes qui restent, et Clara prend un tiers des pommes restantes. Enfin, Lucas prend le reste.

Le partage est-il équitable ?

Réponse

Le partage n’est pas équitable car chaque ami ne reçoit pas la même quantité de pommes.

Corrigé détaillé

Correction Détaillée : Partage des Pommes

Pour déterminer si le partage des pommes est équitable entre les cinq amis, analysons étape par étape comment les pommes sont distribuées.

Étape 1 : Définir la quantité totale de pommes

Supposons que la cagette contient \(T\) pommes au départ.

Étape 2 : Calcul des parts de chaque ami

1. Julien prend \(\frac{1}{6}\) de la récolte :

   \[ \text{Pommes prises par Julien} = \frac{1}{6}T \]

   Pommes restantes :

   \[ T - \frac{1}{6}T = \frac{5}{6}T \]

2. Camille prend \(\frac{1}{3}\) des pommes restantes :

   \[ \text{Pommes prises par Camille} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{6}T = \frac{5}{18}T \]

   Pommes restantes :

   \[ \frac{5}{6}T - \frac{5}{18}T = \frac{15}{18}T - \frac{5}{18}T = \frac{10}{18}T = \frac{5}{9}T \]

3. Yann prend \(\frac{1}{2}\) des pommes qui restent :

   \[ \text{Pommes prises par Théo} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{9}T = \frac{5}{18}T \]

   Pommes restantes :

   \[ \frac{5}{9}T - \frac{5}{18}T = \frac{10}{18}T - \frac{5}{18}T = \frac{5}{18}T \]

4. Clara prend \(\frac{1}{3}\) des pommes restantes :

   \[ \text{Pommes prises par Clara} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{18}T = \frac{5}{54}T \]

   Pommes restantes :

   \[ \frac{5}{18}T - \frac{5}{54}T = \frac{15}{54}T - \frac{5}{54}T = \frac{10}{54}T = \frac{5}{27}T \]

5. Lucas prend le reste :

   \[ \text{Pommes prises par Lucas} = \frac{5}{27}T \]

Étape 3 : Vérification de l’équité du partage

Pour que le partage soit équitable, chaque ami devrait recevoir la même quantité de pommes. Comparons les fractions prises par chacun :

• Julien : \(\frac{1}{6}T = \frac{9}{54}T\)
• Camille : \(\frac{5}{18}T = \frac{15}{54}T\)
• Yann : \(\frac{5}{18}T = \frac{15}{54}T\)
• Clara : \(\frac{5}{54}T\)
• Lucas : \(\frac{5}{27}T = \frac{10}{54}T\)

Total des parts :

\[ \frac{9}{54}T + \frac{15}{54}T + \frac{15}{54}T + \frac{5}{54}T + \frac{10}{54}T = \frac{54}{54}T = T \]

Les parts sont correctement distribuées puisque la somme des fractions est égale à la totalité des pommes. Cependant, les quantités reçues par chaque ami ne sont pas identiques :

• Julien reçoit \(\frac{9}{54}T\)
• Camille et Yann reçoivent chacun \(\frac{15}{54}T\)
• Clara reçoit \(\frac{5}{54}T\)
• Lucas reçoit \(\frac{10}{54}T\)

Conclusion :

Le partage n’est pas équitable car chaque ami ne reçoit pas la même quantité de pommes.