\[\frac{2x - 3}{3} + \frac{5 - 2x}{5}\]
\[\frac{-2x}{4} - 2x\]
\[\frac{4x - 2}{4} - \frac{1 - 2x}{2}\]
\[\frac{x}{3} - \frac{3x - 1}{2} + \frac{11x - 3}{6}\]
\[\frac{3x - 8}{2} + \frac{3x + 10}{10} - \frac{5 - x}{5}\]
\[\frac{4x + 8}{8} - \frac{6x + 9}{18} + \frac{15 - 5x}{20}\]
Réponses :
7) 4x/15
8) –5x/2
9) 2x – 1
10) 2x/3
11) 2(x – 2)
12) (15 – x)/12
Nous allons traiter chaque exercice séparément en détaillant toutes les étapes de simplification.
────────────────────────────── Exercice 7) Simplifier l’expression
:
(2x – 3)/3 + (5 – 2x)/5
Pour additionner deux fractions, il faut un dénominateur commun. Ici, les dénominateurs sont 3 et 5. Leur plus petit commun multiple est 15.
Transformons chaque fraction en une fraction équivalente de
dénominateur 15 : • Pour (2x – 3)/3, on multiplie le numérateur et le
dénominateur par 5 :
(2x – 3)/3 = [5(2x – 3)]/15
• Pour (5 – 2x)/5, on multiplie par 3 :
(5 – 2x)/5 = [3(5 – 2x)]/15
L’addition devient :
[5(2x – 3) + 3(5 – 2x)]/15
Développons les deux produits dans le numérateur : 5(2x – 3) =
10x – 15
3(5 – 2x) = 15 – 6x
Additionnons les deux résultats :
(10x – 15) + (15 – 6x) = (10x – 6x) + (–15 + 15) = 4x + 0 =
4x
L’expression simplifiée est donc :
4x/15
────────────────────────────── Exercice 8) Simplifier l’expression
:
(–2x)/4 – 2x
Simplifions le premier terme :
(–2x)/4 = –(2x/4) = –(x/2)
(Lorsque 2 se simplifie avec 4.)
L’expression devient :
–x/2 – 2x
Pour combiner ces deux termes, exprimons 2x avec le dénominateur
2 :
2x = (4x)/2
On a ainsi :
–x/2 – 4x/2 = (–x – 4x)/2 = –5x/2
────────────────────────────── Exercice 9) Simplifier l’expression
:
(4x – 2)/4 – (1 – 2x)/2
On peut commencer par simplifier le premier terme. Remarquons que
4x – 2 se factorise :
4x – 2 = 2(2x – 1)
Donc, (4x – 2)/4 = 2(2x – 1)/4 = (2x – 1)/2
L’expression devient alors :
(2x – 1)/2 – (1 – 2x)/2
Puisque les deux fractions ont le même dénominateur, on peut
soustraire directement les numérateurs :
(2x – 1) – (1 – 2x)
Faisons attention à la parenthèse et changeons le signe :
= 2x – 1 – 1 + 2x = 4x – 2
Ainsi, l’expression est :
(4x – 2)/2
On peut factoriser 2 dans le numérateur :
4x – 2 = 2(2x – 1)
Donc, (2(2x – 1))/2 = 2x – 1
────────────────────────────── Exercice 10) Simplifier l’expression
:
x/3 – (3x – 1)/2 + (11x – 3)/6
Les dénominateurs sont 3, 2 et 6. Leur plus petit commun multiple est 6.
Exprimons chaque fraction avec le dénominateur 6 : • x/3 = (2x)/6 (puisque 3×2 = 6) • (3x – 1)/2 = (3(3x – 1))/6 = (9x – 3)/6 (puisque 2×3 = 6) • (11x – 3)/6 reste inchangé.
L’expression se transforme en :
(2x)/6 – (9x – 3)/6 + (11x – 3)/6
Rassemblons les numérateurs sur le même dénominateur :
[2x – (9x – 3) + (11x – 3)]/6
Développons et simplifions le numérateur : 2x – 9x + 3 + 11x –
3
= (2x – 9x + 11x) + (3 – 3)
= 4x + 0 = 4x
On obtient ainsi :
4x/6
qui se simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 2 :
= (2x)/3
────────────────────────────── Exercice 11) Simplifier l’expression
:
(3x – 8)/2 + (3x + 10)/10 – (5 – x)/5
Identifions les dénominateurs : 2, 10 et 5. Le plus petit commun multiple est 10.
Réécrivons chaque terme avec le dénominateur 10 : • (3x – 8)/2 =
[5(3x – 8)]/10 = (15x – 40)/10
• (3x + 10)/10 reste inchangé.
• (5 – x)/5 = [2(5 – x)]/10 = (10 – 2x)/10
N’oublions pas le signe moins devant cette fraction :
– (10 – 2x)/10 = (–10 + 2x)/10
Additionnons les fractions :
[(15x – 40) + (3x + 10) + (–10 + 2x)]/10
Regroupons les termes en x et les constantes : – Termes en x :
15x + 3x + 2x = 20x
– Constantes : –40 + 10 – 10 = –40
Le numérateur devient donc 20x – 40.
On peut factoriser 20 :
20x – 40 = 20(x – 2)
L’expression s’écrit alors :
20(x – 2)/10,
puis simplifions en divisant 20/10 = 2, ce qui donne :
2(x – 2)
────────────────────────────── Exercice 12) Simplifier l’expression
:
(4x + 8)/8 – (6x + 9)/18 + (15 – 5x)/20
Les dénominateurs sont 8, 18 et 20. Pour trouver un dénominateur
commun, décomposons chaque nombre en facteurs : • 8 = 2³
• 18 = 2 × 3²
• 20 = 2² × 5
Le plus petit commun multiple (PPCM) se calcule en prenant la puissance
maximale de chaque facteur :
2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360
Le dénominateur commun est donc 360.
Réécrivons chaque fraction avec le dénominateur 360 : • Pour (4x
+ 8)/8 :
360 ÷ 8 = 45
donc (4x + 8)/8 = 45(4x + 8)/360
• Pour (6x + 9)/18 :
360 ÷ 18 = 20
donc (6x + 9)/18 = 20(6x + 9)/360
N’oublions pas le signe moins qui précède cette fraction.
• Pour (15 – 5x)/20 :
360 ÷ 20 = 18
donc (15 – 5x)/20 = 18(15 – 5x)/360
L’expression devient :
[45(4x + 8) – 20(6x + 9) + 18(15 – 5x)]/360
Développons chaque terme du numérateur : • 45(4x + 8) = 180x +
360
• 20(6x + 9) = 120x + 180 (avec un signe moins → –120x – 180)
• 18(15 – 5x) = 270 – 90x
Regroupons les termes : – Coefficient de x : 180x – 120x – 90x =
(180 – 120 – 90)x = –30x
– Termes constants : 360 – 180 + 270 = 450
On obtient donc le numérateur :
450 – 30x
On peut factoriser 30 :
450 – 30x = 30(15 – x)
L’expression devient :
30(15 – x)/360
On simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par 30
:
30/360 = 1/12
Ce qui donne :
(15 – x)/12
────────────────────────────── Réponses finales :
7) 4x/15
8) –5x/2
9) 2x – 1
10) 2x/3
11) 2(x – 2)
12) (15 – x)/12
Chaque étape a permis d’identifier le dénominateur commun, de transformer les fractions et de regrouper soigneusement les termes similaires pour obtenir une expression finale simplifiée.