Déterminer \(a\), \(b\) et \(c\) tels que la parabole d’équation \(y = a x^{2} + b x + c\) passe par les points \(A(0; -5)\), \(B(-2; 3)\) et \(C\left(\frac{1}{2}; -\frac{5}{4}\right)\).
Les coefficients sont \(a = \frac{23}{5}\), \(b = \frac{26}{5}\) et \(c = -5\). L’équation de la parabole est donc : \[ y = \frac{23}{5}x^{2} + \frac{26}{5}x - 5 \]
Pour déterminer les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) de la parabole d’équation \(y = a x^{2} + b x + c\) qui passe par les points \(A(0; -5)\), \(B(-2; 3)\) et \(C\left(\frac{1}{2}; -\frac{5}{4}\right)\), nous allons suivre les étapes suivantes :
Chaque point donné satisfait l’équation de la parabole. Ainsi, en substituant les coordonnées de chaque point dans l’équation \(y = a x^{2} + b x + c\), nous obtenons un système de trois équations à trois inconnues.
Substituons \(x = 0\) et \(y = -5\) dans l’équation :
\[ -5 = a \times 0^{2} + b \times 0 + c \\ -5 = c \]
Nous obtenons immédiatement que :
\[ c = -5 \]
Substituons \(x = -2\) et \(y = 3\) dans l’équation :
\[ 3 = a \times (-2)^{2} + b \times (-2) + c \\ 3 = 4a - 2b + c \]
Comme nous avons déjà trouvé \(c = -5\), remplaçons \(c\) dans l’équation :
\[ 3 = 4a - 2b - 5 \\ 4a - 2b = 8 \quad \text{(Équation 1)} \]
Substituons \(x = \frac{1}{2}\) et \(y = -\frac{5}{4}\) dans l’équation :
\[ -\frac{5}{4} = a \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + b \times \frac{1}{2} + c \\ -\frac{5}{4} = a \times \frac{1}{4} + \frac{b}{2} + c \]
Remplaçons \(c = -5\) dans l’équation :
\[ -\frac{5}{4} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} - 5 \]
Ajoutons 5 des deux côtés pour isoler les termes en \(a\) et \(b\) :
\[ -\frac{5}{4} + 5 = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \\ \frac{15}{4} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \\ \]
Multipliant chaque terme par 4 pour éliminer les fractions :
\[ 15 = a + 2b \quad \text{(Équation 2)} \]
Nous avons maintenant les deux équations suivantes :
\[ \begin{cases} 4a - 2b = 8 \quad \text{(Équation 1)} \\ a + 2b = 15 \quad \text{(Équation 2)} \end{cases} \]
Additionnons l’Équation 1 et l’Équation 2 pour éliminer \(b\) :
\[ (4a - 2b) + (a + 2b) = 8 + 15 \\ 5a = 23 \\ a = \frac{23}{5} \]
Utilisons la valeur de \(a\) dans l’Équation 2 :
\[ \frac{23}{5} + 2b = 15 \\ 2b = 15 - \frac{23}{5} \\ 2b = \frac{75}{5} - \frac{23}{5} \\ 2b = \frac{52}{5} \\ b = \frac{26}{5} \]
Nous avons déterminé les valeurs des coefficients :
\[ \boxed{ \begin{cases} a = \dfrac{23}{5} \\ b = \dfrac{26}{5} \\ c = -5 \end{cases} } \]
Ainsi, l’équation de la parabole est :
\[ y = \dfrac{23}{5} x^{2} + \dfrac{26}{5} x - 5 \]