Exercice 32
Question : Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont définies par : \[ \begin{cases} f(x) = -3x^{2} + 4 \\ g(x) = \dfrac{5}{x - 2} \end{cases} \] Représentez-les graphiquement.
Réponse
Résumé : La fonction quadratique \(f(x) = -3x² + 4\) est une parabole ouverte vers le bas avec un sommet en (0, 4) et intersecte les axes aux points (0, 4) et \(\left( \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}, 0 \right)\). La fonction rationnelle \(g(x) = \frac{5}{x-2}\) est une hyperbole ayant une asymptote verticale en \(x = 2\) et une asymptote horizontale en \(y = 0\), et elle croise l’axe des ordonnées en (0, −2,5). Les graphes des deux fonctions sont tracés ensemble sur le même plan cartésien.
Corrigé détaillé
Pour représenter les fonctions \(f\) et \(g\) graphiquement, nous allons suivre une démarche structurée pour chacune. Cette démarche inclut l’identification du type de fonction, la détermination des points clés (comme les points d’intersection avec les axes, le sommet, les asymptotes, etc.), et le traçage des courbes en fonction de ces informations.
1. Fonction \(f(x) = -3x^{2} + 4\)
a. Type de fonction
La fonction \(f(x) = -3x^{2} + 4\) est une fonction quadratique de la forme générale \(f(x) = ax^{2} + bx + c\), où : - \(a = -3\) - \(b = 0\) - \(c = 4\)
Comme le coefficient de \(x^{2}\) est négatif (\(a = -3\)), la parabole associée à cette fonction est ouverte vers le bas.
b. Détermination du sommet
Le sommet de la parabole est le point le plus haut (puisque \(a < 0\)).
Les coordonnées du sommet \((x_s, y_s)\) se calculent par : \[ x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \times (-3)} = 0 \] \[ y_s = f(x_s) = -3(0)^{2} + 4 = 4 \] Donc, le sommet est \((0, 4)\).
c. Intersections avec les axes
i. Intersection avec l’axe des ordonnées
C’est le point où \(x = 0\). \[ f(0) = -3(0)^2 + 4 = 4 \] Donc, l’intersection est au point \((0, 4)\), qui est également le sommet.
ii. Intersection avec l’axe des abscisses
Nous cherchons les solutions de l’équation \(f(x) = 0\) : \[ -3x^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Les intersections sont donc aux points \(\left( \frac{2\sqrt{3}}{3}, 0 \right)\) et \(\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 0 \right)\).
d. Tableau de signes et valeurs
Pour tracer la parabole, il est utile de déterminer quelques points supplémentaires de chaque côté du sommet.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | \(-3(-2)^2 + 4 = -12 + 4 = -8\) |
| -1 | \(-3(-1)^2 + 4 = -3 + 4 = 1\) |
| 0 | 4 |
| 1 | \(-3(1)^2 + 4 = -3 + 4 = 1\) |
| 2 | \(-3(2)^2 + 4 = -12 + 4 = -8\) |
e. Représentation graphique
En utilisant les points déterminés, nous pouvons tracer la parabole qui passe par ces points, avec son sommet en \((0, 4)\) et ouverte vers le bas.
(Remarque : Pour une représentation précise, utiliser un logiciel de graphes ou tracer à la main en respectant l’échelle choisie.)
2. Fonction \(g(x) = \dfrac{5}{x - 2}\)
a. Type de fonction
La fonction \(g(x) = \dfrac{5}{x - 2}\) est une fonction rationnelle de la forme \(g(x) = \dfrac{a}{x - b}\), où : - \(a = 5\) - \(b = 2\)
Cette fonction est définie pour \(x \neq 2\) et présente une asymptote verticale en \(x = 2\).
b. Asymptotes
i. Asymptote verticale
L’asymptote verticale est la droite \(x = 2\), car la fonction n’est pas définie en \(x = 2\) et tend vers \(\pm \alpha\) lorsque \(x\) approche 2.
ii. Asymptote horizontale
Pour déterminer l’asymptote horizontale, observons le comportement de \(g(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(\pm \alpha\) : \[ \lim_{x \to \pm\alpha} \dfrac{5}{x - 2} = 0 \] Ainsi, l’asymptote horizontale est la droite \(y = 0\), qui correspond à l’axe des abscisses.
c. Intersections avec les axes
i. Intersection avec l’axe des ordonnées
C’est le point où \(x = 0\). \[ g(0) = \dfrac{5}{0 - 2} = -\dfrac{5}{2} \] Donc, l’intersection est au point \(\left( 0, -\dfrac{5}{2} \right)\).
ii. Intersection avec l’axe des abscisses
Nous cherchons les solutions de l’équation \(g(x) = 0\) : \[ \dfrac{5}{x - 2} = 0 \] Cette équation n’a aucune solution car une fraction est nulle uniquement si son numérateur est nul, ce qui n’est pas le cas ici (\(5 \neq 0\)).
d. Tableau de valeurs
Pour tracer la courbe, déterminons quelques points de chaque côté de l’asymptote \(x = 2\).
| \(x\) | \(g(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(-\dfrac{5}{2}\) |
| 1 | \(5/(1 - 2) = -5\) |
| 3 | \(5/(3 - 2) = 5\) |
| 4 | \(5/(4 - 2) = 2.5\) |
| 5 | \(5/(5 - 2) = \dfrac{5}{3}\) |
e. Représentation graphique
En utilisant les points déterminés et en respectant les asymptotes, nous traçons deux branches de la courbe : - Une branche à gauche de \(x = 2\), située en dessous de l’axe des abscisses. - Une branche à droite de \(x = 2\), située au-dessus de l’axe des abscisses.
(Remarque : Pour une représentation précise, utiliser un logiciel de graphes ou tracer à la main en respectant l’échelle choisie.)
3. Synthèse des graphes
En combinant les graphes des fonctions \(f\) et \(g\), nous obtenons une représentation visuelle des deux fonctions sur le même plan cartésien. Assurez-vous de respecter les paramètres suivants lors du tracé : - Pour \(f(x)\) : Tracer une parabole avec un sommet en \((0, 4)\) et ouverte vers le bas. - Pour \(g(x)\) : Tracer une hyperbole avec une asymptote verticale en \(x = 2\) et une asymptote horizontale en \(y = 0\).
Cela permet de visualiser comment ces deux fonctions se comportent et interagissent sur le plan graphique.