Question : On considère le programme de calcul suivant :
Montre que si on choisit 1 comme nombre de départ, le programme donne 8 comme résultat.
Quel résultat obtient-on si on choisit -2 comme nombre de départ ?
Soit \(x\) le nombre de départ. Exprime le résultat du programme en fonction de \(x\).
Montre que ce résultat peut également s’écrire sous la forme \((x+1)(x+3)\) pour toute valeur de \(x\).
La feuille du tableur suivante regroupe les résultats du programme de calcul précédent.
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | \((x+1)(x+3)\) | 0 | -1 | 0 | 3 | 8 | 15 | 24 | 35 | 48 |
Quelle formule a été écrite dans la cellule B2 avant de l’étendre jusqu’à la cellule J2 ?
Trouve les valeurs de \(x\) pour lesquelles le programme donne 0 comme résultat.
Pour x = 1, le programme donne 8 ; pour x = –2, il donne –1. En général, il calcule x² + 4x + 3, qui s’écrit aussi (x + 1)(x + 3). La formule en B2 est =(B1+1)*(B1+3) et l’équation x² + 4x + 3 = 0 admet x = –1 ou x = –3 comme solutions.
Nous allons analyser chacune des étapes du programme de calcul qui consiste à :
Le résultat final se retrouve donc exprimé par la formule : x² + 4x + 3.
Nous allons maintenant répondre aux différentes parties de l’exercice.
────────────────────────────── a. Montrer que si on choisit 1 comme nombre de départ, le programme donne 8 comme résultat
Si x = 1, alors : • Le carré de 1 est 1² = 1. • Le quadruple de 1 est 4 × 1 = 4. • En ajoutant 3, nous obtenons : 1 + 4 + 3.
Donc, le calcul détaillé est : 1 + 4 + 3 = 8.
Ainsi, quand on choisit 1, le programme donne 8.
────────────────────────────── b. Quel résultat obtient-on si on choisit -2 comme nombre de départ ?
Si x = –2, calculons chaque partie : • Le carré de (-2) est (-2)² = 4. • Le quadruple de (-2) est 4 × (-2) = -8. • En ajoutant 3, on a : 4 + (–8) + 3.
Calculons la somme : 4 – 8 = -4, puis -4 + 3 = -1.
Par conséquent, pour x = –2, le résultat est -1.
────────────────────────────── c. Exprimer le résultat du programme en fonction de x
En reprenant les opérations (carré du nombre, quadruple et ajout de 3), nous avons : Résultat = x² + 4x + 3.
────────────────────────────── d. Montrer que ce résultat peut également s’écrire sous la forme (x+1)(x+3) pour toute valeur de x
Pour factoriser l’expression x² + 4x + 3, nous recherchons deux nombres dont la somme est 4 et le produit est 3. Nous constatons que : 1 + 3 = 4 et 1 × 3 = 3.
Ainsi, l’expression se factorise de la manière suivante : x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).
Cela montre que le résultat du programme peut s’écrire sous la forme (x + 1)(x + 3).
────────────────────────────── e. Quelle formule a été écrite dans la cellule B2 avant de l’étendre jusqu’à la cellule J2 ?
Dans la feuille de calcul, la première ligne contient les valeurs de départ pour x (par exemple, la cellule B1 vaut -3, C1 vaut -2, etc.). La cellule B2 contient le calcul correspondant au programme. Pour que la formule s’adapte automatiquement à chaque valeur de x, il faut qu’elle fasse référence à la cellule située juste au-dessus. Ainsi, la formule écrite dans la cellule B2 est : =(B1+1)*(B1+3)
En étendant cette formule vers la droite (jusqu’à la cellule J2), chaque cellule utilisera la valeur correcte de x provenant de sa cellule située dans la première ligne.
────────────────────────────── f. Trouver les valeurs de x pour lesquelles le programme donne 0 comme résultat
Nous voulons résoudre l’équation : x² + 4x + 3 = 0
Nous avons déjà factorisé cette expression (voir partie d) : (x + 1)(x + 3) = 0
Pour que le produit de deux facteurs soit égal à 0, l’un des facteurs doit être 0. On a donc deux cas :
Donc, le programme donne 0 quand x = -1 ou quand x = -3.
────────────────────────────── Conclusion
Nous avons vu que :