Exercice 30
La fonction \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est définie par \(h(x) = -2x^{2} + 4x - \dfrac{1}{2}\). Tracez sa représentation graphique pour \(-1 \leq x \leq 3\).
Réponse
La fonction h(x) = –2x² + 4x – ½ est une parabole ouverte vers le bas. Son sommet se trouve en S(1; 3/2). Les points A(0; –½) et B(2; –½) sont symétriques par rapport à la droite d’axe x = 1, et aux extrémités de l’intervalle, pour x = –1 et x = 3, on obtient h(x) = –6,5. En reliant ces points, on obtient la représentation graphique de h sur [–1; 3].
Corrigé détaillé
Nous allons tracer la représentation graphique de la fonction h
définie par
h(x) = –2x² + 4x – ½
sur l’intervalle de x allant de –1 à 3. Pour cela, suivez ces étapes
:
Déterminer la nature de la fonction
La fonction h est un polynôme du second degré (une fonction quadratique). Comme le coefficient devant x² est –2 (nombre négatif), la parabole est orientée vers le bas.Calculer le sommet de la parabole
Le sommet d’une parabole de la forme ax² + bx + c a pour abscisse :
xₛ = –b / (2a)
Ici, a = –2 et b = 4, donc :
xₛ = –4 / (2 × –2) = –4 / (–4) = 1
Pour connaître l’ordonnée du sommet, on remplace x par 1 dans h(x) :
h(1) = –2·(1)² + 4·1 – ½
= –2 + 4 – ½
= 2 – ½ = 3/2
Le sommet est donc le point S(1; 3/2).Calculer quelques points remarquables
Pour mieux tracer la courbe, calculons quelques valeurs de h(x) :
a) Pour x = 0
h(0) = –2·0² + 4·0 – ½ = –½
On obtient le point A(0; –½).
b) Pour x = 2
h(2) = –2·(2)² + 4·2 – ½
= –2·4 + 8 – ½
= –8 + 8 – ½ = –½
On obtient le point B(2; –½). Ce point est symétrique à A par
rapport à la droite d’axe x = 1.
c) Pour x = –1 (limite de l’intervalle)
h(–1) = –2·(–1)² + 4·(–1) – ½
= –2·1 – 4 – ½
= –2 – 4 – ½ = –6 – ½ = –6,5
On obtient le point U(–1; –6,5).
d) Pour x = 3 (limite de l’intervalle)
h(3) = –2·(3)² + 4·3 – ½
= –2·9 + 12 – ½
= –18 + 12 – ½
= –6 – ½ = –6,5
On obtient le point V(3; –6,5).
Tracer la courbe
• Dessinez un repère avec l’axe horizontal (x) et l’axe vertical (y).
• Placez les points trouvés : – U(–1; –6,5) – A(0; –½) – S(1; 3/2), qui est le sommet où la parabole atteint son maximum. – B(2; –½) – V(3; –6,5) • Tracez ensuite une courbe en forme de U renversé passant par ces points. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale d’équation x = 1.Finalisation
La représentation graphique de la fonction h pour –1 ≤ x ≤ 3 doit montrer une parabole qui s’ouvre vers le bas, avec le sommet en S(1; 3/2) et passant par les points U, A, B et V.
En suivant ces étapes, vous obtenez un graphique précis de h(x) = –2x² + 4x – ½ sur l’intervalle demandé.