Exercice 28

Question : On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x) = x^{3} - 3\,x + 2 \]

a. Complète le tableau de valeurs.

\(\boldsymbol{x}\)	-1	0	1	2	3	4	5
\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)

b. Donne un encadrement de la préimage de 0.

c. Complète ce tableau de valeurs afin de donner un encadrement de la préimage de 0 à \(10^{-1}\) près.

\(\boldsymbol{x}\)
\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)

Réponse

Réponses de l’exercice :

a. Tableau de valeurs complété

\(x\)	-1	0	1	2	3	4	5
\(f(x)\)	4	2	0	4	20	54	112

b. Encadrement de la préimage de 0

\(x = 1\)

c. Encadrement de la préimage de 0 à \(10^{-1}\) près

\(0.9 \leq x \leq 1.1\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice :

On considère la fonction \(f\) définie par : \[ f(x) = x^{3} - 3x + 2 \]

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a. Complète le tableau de valeurs.

Pour compléter le tableau de valeurs, nous allons calculer \(f(x)\) pour chaque valeur de \(x\) donnée.

1. Pour \(x = -1\) : \[ f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \]

2. Pour \(x = 0\) : \[ f(0) = 0^3 - 3 \times 0 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2 \]

3. Pour \(x = 1\) : \[ f(1) = 1^3 - 3 \times 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \]

4. Pour \(x = 2\) : \[ f(2) = 2^3 - 3 \times 2 + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \]

5. Pour \(x = 3\) : \[ f(3) = 3^3 - 3 \times 3 + 2 = 27 - 9 + 2 = 20 \]

6. Pour \(x = 4\) : \[ f(4) = 4^3 - 3 \times 4 + 2 = 64 - 12 + 2 = 54 \]

7. Pour \(x = 5\) : \[ f(5) = 5^3 - 3 \times 5 + 2 = 125 - 15 + 2 = 112 \]

Ainsi, le tableau complété est le suivant :

\(\boldsymbol{x}\)	-1	0	1	2	3	4	5
\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)	4	2	0	4	20	54	112

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b. Donne un encadrement de la préimage de 0.

La préimage de 0 correspond aux valeurs de \(x\) telles que \(f(x) = 0\). En observant le tableau de valeurs :

• \(f(0) = 2\) et \(f(1) = 0\) : Ici, \(f(1) = 0\), donc \(x = 1\) est une solution.
• \(f(-1) = 4\) et \(f(1) = 0\) : Entre \(x = 1\) et \(x = 2\), on voit que \(f(1) = 0\) et \(f(2) = 4\), sans changement de signe.

Puisque \(f(1) = 0\), la préimage exacte de 0 est \(x = 1\). Cependant, pour donner un encadrement, on peut observer les alentours de \(x = 1\).

Encadrement de la préimage de 0 : \[ 1 \leq x \leq 1 \]

Cela signifie que \(x = 1\) est la seule solution dans l’intervalle examiné.

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c. Complète ce tableau de valeurs afin de donner un encadrement de la préimage de 0 à \(10^{-1}\) près.

Pour affiner l’encadrement de la préimage de 0 avec une précision de \(10^{-1}\), nous allons évaluer \(f(x)\) pour des valeurs de \(x\) proches de 1 avec un pas de 0,1.

\(\boldsymbol{x}\)	0.9	1.0	1.1
\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)	\(f(0.9)\)	\(f(1.0)\)	\(f(1.1)\)

Calculons \(f(x)\) pour ces valeurs :

1. Pour \(x = 0.9\) : \[ f(0.9) = (0.9)^3 - 3 \times 0.9 + 2 = 0.729 - 2.7 + 2 = 0.029 \]

2. Pour \(x = 1.0\) : \[ f(1.0) = 1^3 - 3 \times 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \]

3. Pour \(x = 1.1\) : \[ f(1.1) = (1.1)^3 - 3 \times 1.1 + 2 = 1.331 - 3.3 + 2 = 0.031 \]

Ainsi, le tableau complété est le suivant :

\(\boldsymbol{x}\)	0.9	1.0	1.1
\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\)	0.029	0	0.031

Encadrement de la préimage de 0 à \(10^{-1}\) près : \[ 0.9 \leq x \leq 1.1 \]

Cela signifie que la solution \(x = 1\) est encadrée entre 0.9 et 1.1 avec une précision de \(10^{-1}\).