Exercice 27
Soient les fonctions \(m\) et \(n\) définies sur \(\mathbb{R}\) par
- \(m(x) = (x - 2)^{2}\)
- \(n(x) = (2 - x)(x + 8)\).
Représentez graphiquement ces fonctions et déterminez les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(m(x) = n(x)\).
Réponse
Les valeurs de \(x\) telles que \(m(x) = n(x)\) sont \(x = -3\) et \(x = 2\).
Corrigé détaillé
Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre plusieurs étapes : 1. Analyser les fonctions \(m\) et \(n\) 2. Représenter graphiquement les fonctions 3. Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(m(x) = n(x)\)
1. Analyse des fonctions \(m\) et \(n\)
Fonction \(m\) : \[ m(x) = (x - 2)^2 \] Cette fonction est un polynôme du second degré. Son graphique est une parabole qui ouvre vers le haut. Le sommet de la parabole se trouve au point \((2, 0)\).
Fonction \(n\) : \[ n(x) = (2 - x)(x + 8) \] Développons cette expression pour simplifier : \[ n(x) = (2 - x)(x + 8) = 2(x + 8) - x(x + 8) = 2x + 16 - x^2 - 8x = -x^2 - 6x + 16 \] Ainsi, \(n(x) = -x^2 - 6x + 16\). Cette fonction est également un polynôme du second degré, mais son parabole ouvre vers le bas car le coefficient de \(x^2\) est négatif.
2. Représentation graphique des fonctions
Pour \(m(x)\) : - Sommet : \((2, 0)\) - Intersections avec l’axe des \(x\) : Résoudre \(m(x) = 0\) \[ (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] La parabole touche l’axe des \(x\) au point \((2, 0)\). - Symétrie : La parabole est symétrique par rapport à la droite \(x = 2\).
Pour \(n(x)\) : - Forme développée : \(n(x) = -x^2 - 6x + 16\) - Sommet : La coordonnée en \(x\) du sommet est donnée par \(x = -\frac{b}{2a}\) \[ a = -1, \quad b = -6 \Rightarrow x = -\frac{-6}{2 \times -1} = -\frac{6}{-2} = 3 \] Calculons \(n(3)\) : \[ n(3) = -(3)^2 - 6 \times 3 + 16 = -9 - 18 + 16 = -11 \] Donc, le sommet est \((3, -11)\). - Intersections avec l’axe des \(x\) : Résoudre \(n(x) = 0\) \[ -x^2 - 6x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 + 6x - 16 = 0 \] Utilisons la formule quadratique : \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{avec} \ a=1, \ b=6, \ c=-16 \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2} \] Donc, \(x = \frac{4}{2} = 2\) ou \(x = \frac{-16}{2} = -8\). Les intersections sont aux points \((2, 0)\) et \((-8, 0)\).
3. Détermination des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(m(x) = n(x)\)
Nous cherchons les valeurs de \(x\) telles que : \[ m(x) = n(x) \Rightarrow (x - 2)^2 = (2 - x)(x + 8) \] Développons et résolvons cette équation.
Étape 1 : Développer les deux côtés \[ (x - 2)^2 = (2 - x)(x + 8) \] Développons le côté gauche : \[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \] Développons le côté droit : \[ (2 - x)(x + 8) = 2x + 16 - x^2 - 8x = -x^2 - 6x + 16 \]
Étape 2 : Écrire l’équation développée \[ x^2 - 4x + 4 = -x^2 - 6x + 16 \]
Étape 3 : Rassembler tous les termes à gauche \[ x^2 - 4x + 4 + x^2 + 6x - 16 = 0 \] \[ 2x^2 + 2x - 12 = 0 \]
Étape 4 : Simplifier l’équation Divisons chaque terme par 2 : \[ x^2 + x - 6 = 0 \]
Étape 5 : Résoudre l’équation du second degré Cherchons deux nombres dont le produit est \(-6\) et la somme est \(1\). Ces nombres sont \(3\) et \(-2\).
Factorisons : \[ x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0 \]
Étape 6 : Trouver les solutions \[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \] \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \]
Conclusion
Les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(m(x) = n(x)\) sont : \[ x = -3 \quad \text{et} \quad x = 2 \]
Ces points correspondent aux intersections des graphes des fonctions \(m\) et \(n\).