Question : Soit la fonction \(g\) définie par \(g(x) = 3x^{2} - 12\). Identifiez les affirmations vraies et justifiez chaque réponse par un calcul.
\(g(2) = 0\)
\(g(-1) = -9\)
\(g(0) = -12\)
\(g(3) = 15\)
Déterminez le(s) préimage(s) de 0 par \(g\).
Nous avons la fonction \(g\) définie par : \[ g(x) = 3x^{2} - 12 \]
Nous allons vérifier chaque affirmation en substituant la valeur donnée dans la fonction \(g\) et en effectuant les calculs nécessaires.
Vérification : \[ g(2) = 3 \times (2)^{2} - 12 \] \[ g(2) = 3 \times 4 - 12 \] \[ g(2) = 12 - 12 \] \[ g(2) = 0 \]
Conclusion : L’affirmation est vraie.
Vérification : \[ g(-1) = 3 \times (-1)^{2} - 12 \] \[ g(-1) = 3 \times 1 - 12 \] \[ g(-1) = 3 - 12 \] \[ g(-1) = -9 \]
Conclusion : L’affirmation est vraie.
Vérification : \[ g(0) = 3 \times (0)^{2} - 12 \] \[ g(0) = 3 \times 0 - 12 \] \[ g(0) = 0 - 12 \] \[ g(0) = -12 \]
Conclusion : L’affirmation est vraie.
Vérification : \[ g(3) = 3 \times (3)^{2} - 12 \] \[ g(3) = 3 \times 9 - 12 \] \[ g(3) = 27 - 12 \] \[ g(3) = 15 \]
Conclusion : L’affirmation est vraie.
Nous cherchons les valeurs de \(x\) telles que \(g(x) = 0\): \[ 3x^{2} - 12 = 0 \]
Étapes de résolution :
Isoler le terme en \(x^{2}\) : \[ 3x^{2} = 12 \]
Diviser par 3 : \[ x^{2} = 4 \]
Prendre la racine carrée des deux côtés : \[ x = \sqrt{4} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{4} \] \[ x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2 \]
Conclusion : Les préimages de 0 par \(g\) sont \(x = 2\) et \(x = -2\).
Toutes les affirmations (a à d) sont vraies car les calculs apportent les résultats indiqués. Pour l’affirmation e, les solutions montrent que \(g(2) = 0\) et \(g(-2) = 0\), ce qui signifie que 2 et -2 sont les préimages de 0 par la fonction \(g\).