Exercice 25

Représentez graphiquement l’application \(g\), définie pour \(-2 \leq x \leq 2\) par \(g(x) = \frac{1}{2} x^{3} + 1\).

Réponse

Tracer d’abord les axes avec x de -2 à 2. Calculer ensuite : • g(-2) = -3
• g(-1) = 0,5
• g(0) = 1
• g(1) = 1,5
• g(2) = 5
Placer ces points et relier par une courbe lisse pour obtenir la représentation de g(x) = (1/2)x³ + 1 sur [-2 ; 2].

Corrigé détaillé

Voici une explication détaillée pour représenter graphiquement l’application g définie par g(x) = (1/2)x³ + 1 sur l’intervalle [-2 ; 2] :

1. Choix des repères et du domaine
   • Dans un premier temps, tracez deux axes perpendiculaires : l’axe des abscisses (horizontal) et l’axe des ordonnées (vertical).
   • Indiquez clairement sur l’axe horizontal les valeurs de x allant de -2 à 2.

2. Calcul de quelques valeurs de g(x)
   Pour mieux comprendre la forme de la courbe, il est utile de calculer la valeur de g(x) pour plusieurs x choisis dans l’intervalle. Choisissons x = -2, -1, 0, 1 et 2.

   • Pour x = -2 :
     g(-2) = (1/2) × (-2)³ + 1
        = (1/2) × (-8) + 1
        = -4 + 1
        = -3

   • Pour x = -1 :
     g(-1) = (1/2) × (-1)³ + 1
        = (1/2) × (-1) + 1
        = -0,5 + 1
        = 0,5

   • Pour x = 0 :
     g(0) = (1/2) × (0)³ + 1
        = 0 + 1
        = 1

   • Pour x = 1 :
     g(1) = (1/2) × (1)³ + 1
        = (1/2) × 1 + 1
        = 0,5 + 1
        = 1,5

   • Pour x = 2 :
     g(2) = (1/2) × (2)³ + 1
        = (1/2) × 8 + 1
        = 4 + 1
        = 5

3. Représentation des points
   Placez sur le graphique les points correspondant aux paires (x, g(x)) obtenues :
   • (-2 ; -3)
   • (-1 ; 0,5)
   • (0 ; 1)
   • (1 ; 1,5)
   • (2 ; 5)

4. Tracé de la courbe
   • Reliez ensuite ces points à l’aide d’une courbe lisse. La fonction g(x) est une fonction polynomiale de degré 3, ce qui signifie que sa représentation graphique est une courbe continue et régulière.
   • On constate que la courbe est croissante sur l’intervalle [-2 ; 2] : elle passe de la valeur -3 pour x = -2 à la valeur 5 pour x = 2.

5. Vérifications et observations finales
   • Assurez-vous que la courbe passe bien par chacun des points calculés.
   • Notez que la constante +1 décale la courbe vers le haut d’une unité, et le coefficient (1/2) devant x³ a pour effet d’étirer ou comprimer la courbe par rapport à une fonction x³ classique.
   • Observez que la forme générale de la courbe est caractéristique d’un polynôme de degré 3 (courbe en S renversé) qui, dans cet intervalle, présente une croissance progressive.

En suivant ces étapes, vous obtenez une représentation fidèle de l’application g sur l’intervalle [-2 ; 2]. Cette méthode permet d’avoir une vue d’ensemble du comportement de la fonction et facilite la compréhension de la relation entre x et g(x).