Question : Soit la fonction \(f\) définie par : \[ f(x) = (2x + 5)^2 - 9. \]
Déterminez les images de \(1\), \(-2\) et \(4\) par \(f\).
Déterminez les préimages de \(-9\) par \(f\).
\(-16\) a-t-il une ou plusieurs préimages par \(f\) ?
Nous avons la fonction f définie par :
f(x) = (2x + 5)² – 9
Nous allons procéder étape par étape pour résoudre les questions posées.
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1. Calcul des images de 1, –2 et 4 par f
Pour x = 1 :
On remplace x par 1 dans f(x) :
f(1) = (2×1 + 5)² – 9
= (2 + 5)² – 9
= 7² – 9
= 49 – 9
= 40
L’image de 1 par f est donc 40.
Pour x = –2 :
On remplace x par –2 dans f(x) :
f(–2) = (2×(–2) + 5)² – 9
= (–4 + 5)² – 9
= (1)² – 9
= 1 – 9
= –8
L’image de –2 par f est donc –8.
Pour x = 4 :
On remplace x par 4 dans f(x) :
f(4) = (2×4 + 5)² – 9
= (8 + 5)² – 9
= 13² – 9
= 169 – 9
= 160
L’image de 4 par f est donc 160.
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2. Détermination des préimages de –9 par f
Nous cherchons les valeurs de x telles que f(x) = –9.
On écrit l’équation :
(2x + 5)² – 9 = –9
Ajoutons 9 des deux côtés pour simplifier :
(2x + 5)² = –9 + 9
(2x + 5)² = 0
Quand un carré est égal à 0, cela signifie que l’expression à
l’intérieur du carré est nulle.
Donc :
2x + 5 = 0
Pour trouver x, isolons-le :
2x = –5
x = –5/2
La seule préimage de –9 par f est x = –5/2.
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3. Étudier si –16 admet une ou plusieurs préimages par f
Nous cherchons les solutions de f(x) = –16, c’est-à-dire :
(2x + 5)² – 9 = –16
On commence par isoler le carré en ajoutant 9 des deux côtés
:
(2x + 5)² = –16 + 9
(2x + 5)² = –7
Or, le carré d’un nombre réel est toujours supérieur ou égal à
0.
Il est impossible d’avoir (2x + 5)² égal à –7 puisque –7 est un nombre
négatif.
Cela signifie qu’il n’existe aucune solution réelle à cette
équation.
Donc, –16 n’a aucune préimage par f.
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Récapitulatif :
Cette démarche détaillée permet de comprendre comment procéder pour chaque partie de l’exercice.