Soit l’application \(f(x) = x^{2} + 5x + 6\) définie sur \(\mathbb{R}\). À quels points le graphique de cette application coupe-t-il :
Le graphique de \(f\) coupe l’axe des abscisses en \((-2,\ 0)\) et \((-3,\ 0)\), et l’axe des ordonnées en \((0,\ 6)\).
Énoncé : Soit l’application \(f(x) = x^{2} + 5x + 6\) définie sur \(\mathbb{R}\). À quels points le graphique de cette application coupe-t-il :
L’axe des abscisses correspond à la droite où \(y = 0\). Ainsi, pour trouver les points d’intersection avec cet axe, il faut résoudre l’équation \(f(x) = 0\).
Étapes de la résolution :
Écrire l’équation : \[ x^{2} + 5x + 6 = 0 \]
Factoriser le trinôme : Nous cherchons deux nombres \(a\) et \(b\) tels que : \[ a \times b = 6 \quad \text{et} \quad a + b = 5 \] Les nombres 2 et 3 conviennent : \[ 2 \times 3 = 6 \quad \text{et} \quad 2 + 3 = 5 \]
Écrire le trinôme sous forme factorisée : \[ x^{2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \]
Résoudre l’équation factorisée : \[ (x + 2)(x + 3) = 0 \] Donc : \[ x + 2 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 3 = 0 \] D’où : \[ x = -2 \quad \text{ou} \quad x = -3 \]
Conclusion :
Le graphique de \(f\) coupe l’axe des abscisses aux points \((-2,\ 0)\) et \((-3,\ 0)\).
L’axe des ordonnées correspond à la droite où \(x = 0\). Pour trouver le point d’intersection, il suffit de calculer \(f(0)\).
Calcul :
\[ f(0) = (0)^{2} + 5 \times 0 + 6 = 0 + 0 + 6 = 6 \]
Conclusion :
Le graphique de \(f\) coupe l’axe des ordonnées au point \((0,\ 6)\).