Exercice 22
L’aire d’un rectangle est de \(12\,\mathrm{m}^2\). On désigne l’une de ses dimensions par \(x\) et l’autre par \(y\).
- Exprimer \(y\) en fonction de \(x\).
- Représenter graphiquement \(y\) en fonction de \(x\).
Réponse
Réponse : On a y = 12/x (avec x ≠ 0). La courbe de cette fonction est une hyperbole, avec une branche pour x positif et l’autre pour x négatif.
Corrigé détaillé
On vous indique que l’aire d’un rectangle se calcule en multipliant les deux dimensions. Ici, l’aire est donnée par :
x × y = 12 (1)
Nous voulons exprimer y en fonction de x. Pour cela, on isole y dans l’équation (1).
Étape 1 : Isoler y Partant de x × y = 12, on divise chaque côté de l’équation par x (en rappelant que x doit être différent de 0) : y = 12/x
On a ainsi obtenu l’expression de y en fonction de x.
Étape 2 : Représentation graphique Pour représenter graphiquement y = 12/x, voici quelques indications :
Il faut choisir différentes valeurs de x (positives ou négatives) en s’assurant d’éviter x = 0, car la division par zéro n’est pas définie. Exemples : • Si x = 1, alors y = 12/1 = 12. • Si x = 2, alors y = 12/2 = 6. • Si x = 3, alors y = 12/3 = 4. • Si x = 4, alors y = 12/4 = 3. • Si x = 6, alors y = 12/6 = 2. • Si x = -1, alors y = 12/(-1) = -12. • Si x = -2, alors y = 12/(-2) = -6.
Sur un repère orthogonal (avec un axe horizontal pour x et vertical pour y), vous tracez ces points.
Reliez progressivement les points en dessinant une courbe continue qui s’approche de la droite verticale x = 0 (la « frontière » où la fonction n’est pas définie). La courbe se découpe en deux parties : • Une partie pour x positif (la courbe se trouve en haut à droite), • Une partie pour x négatif (la courbe se trouve en bas à gauche).
Cette courbe correspond à ce que l’on appelle une hyperbole, et elle montre comment y varie en fonction de x.
En résumé :
• Expression de y en fonction de x : y = 12/x. • La courbe de cette fonction est une hyperbole dont les branches se trouvent dans les parties du repère concernées par x positif et x négatif.