Exercice 21

À l’occasion de l’aménagement d’un jardin, le jardinier doit délimiter une zone rectangulaire à l’aide d’une clôture de 300 m.

1. Quelles doivent être les dimensions du rectangle pour que la superficie du jardin soit de \(3500\, \mathrm{m}^{2}\) ?

2. Donne l’expression fonctionnelle qui, en fonction de la longueur d’un côté du jardin, correspond à sa superficie.

3. Représente graphiquement la superficie du jardin en fonction de la longueur d’un de ses côtés.

4. Quelle est la superficie maximale que peut avoir ce jardin ?

Réponse

1. Dimensions du rectangle : (150 + 10√85)/2 m et (150 – 10√85)/2 m.

2. Formule de la superficie : A(x) = 150x − x².

3. Graphiquement, A(x) est une parabole renversée passant par (0,0), (75,5625) et (150,0).

4. La superficie maximale est 5625 m², obtenue pour x = 75 m.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chaque question étape par étape en expliquant clairement la démarche.

────────────────────────────── Question a) Dimensions pour une superficie de 3500 m²

1. Soit les deux dimensions du rectangle notées x et y. La clôture de 300 m correspond au périmètre, donc :
     2(x + y) = 300
     Ainsi, x + y = 150  (1)

2. La superficie du rectangle est donnée par :
     A = x · y = 3500  (2)

3. Pour résoudre le système, nous exprimons y en fonction de x à partir de (1) :
     y = 150 − x

4. On remplace dans (2) :
     x(150 − x) = 3500
     Cela donne : 150x − x² = 3500
     En réécrivant sous forme canonique, on obtient :
     x² − 150x + 3500 = 0

5. Pour résoudre cette équation quadratique, on calcule le discriminant Δ :
     Δ = (150)² − 4·1·3500
       = 22500 − 14000
       = 8500

6. La solution de l’équation est :
     x = [150 ± √8500] / 2
     Remarquons que √8500 = √(100×85) = 10√85.

7. Ainsi, on a deux valeurs possibles :
     x = (150 + 10√85) / 2  ou  x = (150 − 10√85) / 2

8. Une fois que x est déterminé, y se trouve grâce à y = 150 − x.
     • Pour x = (150 + 10√85)/2, alors y = 150 − (150 + 10√85)/2 = (300 − 150 − 10√85)/2 = (150 − 10√85)/2.
     • Pour x = (150 − 10√85)/2, alors y = (150 + 10√85)/2.

9. Ainsi, les dimensions du rectangle sont :
     • (150 + 10√85)/2 m et (150 – 10√85)/2 m.

────────────────────────────── Question b) Expression fonctionnelle de la superficie par rapport à la longueur

1. Choisissons une variable, par exemple x, pour représenter la longueur d’un côté du jardin.
   
2. D’après (1) du calcul précédemment, l’autre côté vaut alors :
     y = 150 − x.
3. La superficie A en fonction de x s’exprime par :
     A(x) = x · y = x(150 − x)
4. En développant, on obtient :
     A(x) = 150x − x².

────────────────────────────── Question c) Représentation graphique de la superficie

1. On considère la fonction A(x) = 150x − x² qui est une fonction polynomiale du second degré (une parabole).
2. Puisque le coefficient de x² est négatif (−1), la parabole est orientée vers le bas.
3. Les points caractéristiques :   • Zéro de la fonction :
      x(150 − x) = 0 donc x = 0 et x = 150.   • Sommets de la parabole :
      La forme générale d’une parabole est A(x) = −x² + 150x.
      Le sommet (point de maximum) est atteint pour x = −b/(2a) = −150/(2×(−1)) = 75.    La valeur maximale est : A(75) = 150×75 − 75² = 11250 − 5625 = 5625 m².
4. Ainsi, sur un graphique avec l’axe horizontal représentant la longueur x (allant de 0 à 150 m) et l’axe vertical représentant la superficie en m², on trace la parabole passant par (0,0), (75,5625) et (150,0).

────────────────────────────── Question d) Superficie maximale du jardin

1. Comme nous venons de le voir, la fonction A(x) = 150x − x² atteint son maximum au sommet de la parabole.
2. Le sommet est pour x = 75 m et donne A(75) = 5625 m².
3. Ceci signifie que la superficie maximale est obtenue quand les deux côtés mesurent 75 m (c’est la configuration d’un carré pour un périmètre donné) et que la superficie maximale est de 5625 m².

────────────────────────────── Conclusion :

1. Les dimensions du rectangle pour avoir une superficie de 3500 m² sont :
     (150 + 10√85) / 2 m et (150 − 10√85) / 2 m.

2. L’expression de la superficie en fonction d’un côté x est :
     A(x) = 150x − x².

3. La représentation graphique de A(x) = 150x − x² est une parabole renversée passant par les points (0,0), (75,5625) et (150,0).

4. La superficie maximale possible du jardin est 5625 m².

Ces étapes permettent de bien comprendre la démarche pour résoudre ce problème en utilisant des notions d’équations, de fonctions quadratiques et des propriétés d’un rectangle dont le périmètre est fixé.