Question : Chaque été, Léa réaménage son espace de loisirs. Cette année, elle souhaite installer une terrasse rectangulaire le long de la façade est de sa maison. Pour ce faire, elle dispose d’une clôture de \(24\,\text{m}\).
À quelle distance de la façade doit-elle placer ses deux poteaux d’angle pour maximiser l’aire de sa terrasse ?
La distance optimale des poteaux est de 6 mètres pour maximiser l’aire de la terrasse de Léa.
Correction détaillée :
Pour maximiser l’aire de la terrasse de Léa, nous devons déterminer la distance optimale \(x\) des deux poteaux d’angle par rapport à la façade de la maison. Voici les étapes détaillées pour résoudre ce problème.
Comme la clôture doit couvrir les deux côtés latéraux et le côté opposé, nous avons l’équation suivante pour la longueur totale de la clôture :
\[ 2x + L = 24 \]
L’aire \(A\) de la terrasse est le produit de sa longueur et de sa largeur :
\[ A = L \times x \]
À partir de l’équation de la clôture :
\[ L = 24 - 2x \]
Substituons \(L\) dans l’expression de l’aire :
\[ A = x \times (24 - 2x) = 24x - 2x^2 \]
Pour maximiser l’aire \(A\), nous devons trouver la valeur de \(x\) qui donne le maximum de la fonction quadratique \(A(x) = -2x^2 + 24x\).
La fonction quadratique représente une parabole ouverte vers le bas (puisque le coefficient de \(x^2\) est négatif). Le sommet de cette parabole correspond au maximum de \(A\).
La coordonnée en \(x\) du sommet est donnée par :
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
où \(a = -2\) et \(b = 24\).
\[ x = -\frac{24}{2 \times (-2)} = \frac{24}{4} = 6\,\text{m} \]
Pour s’assurer qu’il s’agit bien d’un maximum, on peut vérifier la dérivée seconde :
\[ \frac{d^2A}{dx^2} = -4 < 0 \]
Comme la dérivée seconde est négative, la fonction a bien un maximum au point \(x = 6\,\text{m}\).
La distance optimale des poteaux d’angle par rapport à la façade est de \(6\,\text{m}\). Cette configuration permet de maximiser l’aire de la terrasse de Léa.