Exercice 19
Question : Représentez sur le même graphique les fonctions \(h\) définie par \(h(x) = 3x^{2}\) et \(k\) définie par \(k(x) = -x + 5\).
Réponse
Les fonctions \(h(x) = 3x^{2}\) (parabole) et \(k(x) = -x + 5\) (droite) ont été tracées sur le même graphique en utilisant des tableaux de valeurs. Les graphes se croisent en deux points, illustrant les solutions de l’équation \(3x^{2} = -x + 5\).
Corrigé détaillé
Pour représenter les fonctions \(h\) et \(k\) sur le même graphique, suivons les étapes ci-dessous :
1. Comprendre les Fonctions
- Fonction \(h\) : \(h(x) = 3x^{2}\) est une fonction quadratique. Son graphe est une parabole.
- Fonction \(k\) : \(k(x) = -x + 5\) est une fonction linéaire. Son graphe est une droite.
2. Construire les Tableaux de Valeurs
a. Fonction \(h(x) = 3x^{2}\)
Choisissons quelques valeurs de \(x\) et calculons \(h(x)\) :
| \(x\) | \(h(x) = 3x^{2}\) |
|---|---|
| -2 | \(3 \times (-2)^2 = 12\) |
| -1 | \(3 \times (-1)^2 = 3\) |
| 0 | \(3 \times 0^2 = 0\) |
| 1 | \(3 \times 1^2 = 3\) |
| 2 | \(3 \times 2^2 = 12\) |
b. Fonction \(k(x) = -x + 5\)
Choisissons les mêmes valeurs de \(x\) et calculons \(k(x)\) :
| \(x\) | \(k(x) = -x + 5\) |
|---|---|
| -2 | \(-(-2) + 5 = 7\) |
| -1 | \(-(-1) + 5 = 6\) |
| 0 | \(-(0) + 5 = 5\) |
| 1 | \(-(1) + 5 = 4\) |
| 2 | \(-(2) + 5 = 3\) |
3. Tracer le Graphique
a. Préparer le Plan Cartésien
- Dessinez un plan cartésien avec un axe des \(x\) (horizontal) et un axe des \(y\) (vertical).
- Choisissez une échelle adaptée pour représenter les valeurs obtenues (par exemple, unité 1 pour chaque case).
b. Tracer les Points de la Fonction \(h(x)\)
Plotez les points suivants sur le plan :
- \((-2, 12)\)
- \((-1, 3)\)
- \((0, 0)\)
- \((1, 3)\)
- \((2, 12)\)
Ensuite, reliez ces points pour former une parabole ouverte vers le haut.
c. Tracer les Points de la Fonction \(k(x)\)
Plotez les points suivants sur le même plan :
- \((-2, 7)\)
- \((-1, 6)\)
- \((0, 5)\)
- \((1, 4)\)
- \((2, 3)\)
Reliez ces points par une droite.
4. Analyser le Graphique
- Intersection des Graphes : Vérifiez s’il y a des points où la parabole et la droite se croisent.
- Comportement des Fonctions : Notez que la parabole croît rapidement pour des valeurs de \(x\) éloignées de 0, tandis que la droite décroît constamment.
5. Résultat Final
Vous obtenez ainsi un graphique où :
- La parabole représente la fonction \(h(x) = 3x^{2}\).
- La droite représente la fonction \(k(x) = -x + 5\).
- Les points d’intersection éventuels indiquent les solutions de l’équation \(3x^{2} = -x + 5\).
Exemple de Graphique
(Remarque : Remplacez le lien par le graphique réel obtenu.)
Conclusion
En suivant ces étapes, vous pouvez représenter efficacement les fonctions \(h\) et \(k\) sur le même graphique, ce qui facilite la comparaison de leurs comportements respectifs.