Question : Une société produit chaque semaine un article. Soit \(y\) la quantité hebdomadaire produite en unités, avec \(0 \leq y \leq 60\). Le coût de production de \(y\) unités d’article, exprimé en euros, est donné par la formule : \[ \mathrm{C}(y) = 2y^{2} - 30y + 150. \] Le prix de vente de cet article est de 45 CHF par unité. On suppose que tous les articles fabriqués sont vendus.
a. Calculer le coût de production pour 15 unités d’article.
b. Déterminer la recette liée à la vente de 15 unités d’article.
c. Quel est le bénéfice réalisé ?
d. Déterminer la recette \(\mathrm{R}(y)\) en fonction de \(y\), lorsque la société fabrique et vend \(y\) unités d’article.
e. Déterminer le bénéfice \(\mathrm{B}(y)\) correspondant.
f. Représenter graphiquement la fonction \(B\) dans un repère.
g. Pour quelle valeur de \(y\) le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?
Résumé de la correction :
Pour 15 unités, le coût de production est de 150 €, la recette est de 675 CHF, et le bénéfice est de 525 CHF. La fonction de recette est \(\mathrm{R}(y) = 45y\) et celle du bénéfice est \(\mathrm{B}(y) = -2y^{2} + 75y - 150\). Le bénéfice maximal de 553,125 CHF est atteint pour 18,75 unités.
Nous allons aborder chaque question étape par étape pour bien comprendre comment résoudre cet exercice.
Données : - Fonction coût de production : \(\mathrm{C}(y) = 2y^{2} - 30y + 150\) - Quantité produite \(y = 15\) unités
Étapes : 1. Remplacer \(y\) par 15 dans la fonction coût \(\mathrm{C}(y)\). 2. Calculer chaque terme de l’expression. 3. Additionner les résultats pour obtenir le coût total.
Calcul : \[ \mathrm{C}(15) = 2 \times (15)^{2} - 30 \times 15 + 150 \] \[ = 2 \times 225 - 450 + 150 \] \[ = 450 - 450 + 150 \] \[ = 150 \, \text{euros} \]
Réponse : Le coût de production pour 15 unités d’article est de 150 euros.
Données : - Prix de vente par unité : 45 CHF - Quantité vendue \(y = 15\) unités
Étapes : 1. Calculer la recette totale en multipliant le prix unitaire par la quantité vendue.
Calcul : \[ \text{Recette} = \text{Prix unitaire} \times y = 45 \times 15 \] \[ = 675 \, \text{CHF} \]
Réponse : La recette liée à la vente de 15 unités d’article est de 675 CHF.
Données : - Coût de production pour 15 unités : 150 euros - Recette pour 15 unités : 675 CHF
Remarque : Il est important de noter que les coûts sont en euros et les recettes en francs suisses (CHF). Pour calculer le bénéfice, les deux montants doivent être dans la même devise. Toutefois, dans cet exercice, on suppose que 1 euro = 1 CHF pour simplifier les calculs.
Étapes : 1. Calculer le bénéfice en soustrayant le coût de production de la recette.
Calcul : \[ \text{Bénéfice} = \text{Recette} - \text{Coût de production} = 675 - 150 = 525 \, \text{CHF} \]
Réponse : Le bénéfice réalisé est de 525 CHF.
Données : - Prix de vente par unité : 45 CHF
Étapes : 1. La recette totale est le produit du prix unitaire par la quantité vendue. 2. Exprimer cela sous forme de fonction en remplaçant la quantité par \(y\).
Calcul : \[ \mathrm{R}(y) = 45 \times y \] \[ \mathrm{R}(y) = 45y \]
Réponse : La recette en fonction de \(y\) est \(\boxed{ \mathrm{R}(y) = 45y }\).
Données : - Fonction coût de production : \(\mathrm{C}(y) = 2y^{2} - 30y + 150\) - Fonction recette : \(\mathrm{R}(y) = 45y\)
Étapes : 1. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de production. 2. Exprimer cela sous forme de fonction en utilisant \(\mathrm{R}(y)\) et \(\mathrm{C}(y)\).
Calcul : \[ \mathrm{B}(y) = \mathrm{R}(y) - \mathrm{C}(y) \] \[ \mathrm{B}(y) = 45y - (2y^{2} - 30y + 150) \] \[ \mathrm{B}(y) = 45y - 2y^{2} + 30y - 150 \] \[ \mathrm{B}(y) = -2y^{2} + 75y - 150 \]
Réponse : Le bénéfice en fonction de \(y\) est \(\boxed{ \mathrm{B}(y) = -2y^{2} + 75y - 150 }\).
Étapes : 1. Identifier la fonction à représenter : \(\mathrm{B}(y) = -2y^{2} + 75y - 150\). 2. Reconnaître qu’il s’agit d’une parabole dont le coefficient de \(y^{2}\) est négatif, donc ouverte vers le bas. 3. Trouver le sommet de la parabole pour déterminer le point de maximum. 4. Tracer la courbe en choisissant des valeurs de \(y\) et en calculant \(\mathrm{B}(y)\).
Repère : - Axe horizontal (x) : Quantité \(y\) (unités) - Axe vertical (y) : Bénéfice \(\mathrm{B}(y)\) (CHF)
Points clés : - Point d’intersection avec l’axe des y : \(y = 0\) \[ \mathrm{B}(0) = -2(0)^2 + 75(0) - 150 = -150 \, \text{CHF} \] - Point d’intersection avec l’axe des x : Résoudre \(\mathrm{B}(y) = 0\) \[ -2y^{2} + 75y - 150 = 0 \] Résolution par la formule quadratique ou factorisation.
Schéma : Le graphique serait une parabole ouvrant vers le bas, intersectant les axes aux points calculés.
Réponse : Graphique non représentable ici, mais voici la description : La courbe de la fonction \(\mathrm{B}(y) = -2y^{2} + 75y - 150\) est une parabole ouverte vers le bas avec un sommet situé au point de maximum du bénéfice.
Données : - Fonction bénéfice : \(\mathrm{B}(y) = -2y^{2} + 75y - 150\)
Étapes : 1. Identifier la fonction quadratique de la forme \(\mathrm{B}(y) = ay^{2} + by + c\), avec \(a = -2\), \(b = 75\). 2. Le maximum de la parabole se trouve au sommet, dont l’abscisse est \(y = -\frac{b}{2a}\). 3. Calculer cette valeur de \(y\). 4. Calculer le bénéfice maximal en remplaçant \(y\) dans la fonction \(\mathrm{B}(y)\).
Calcul : \[ y = -\frac{b}{2a} = -\frac{75}{2 \times (-2)} = \frac{75}{4} = 18,75 \, \text{unités} \]
Calcul du bénéfice maximal : \[ \mathrm{B}(18,75) = -2 \times (18,75)^2 + 75 \times 18,75 - 150 \] \[ = -2 \times 351,5625 + 1406,25 - 150 \] \[ = -703,125 + 1406,25 - 150 \] \[ = 553,125 \, \text{CHF} \]
Réponse : Le bénéfice est maximal pour \(\boxed{ y = 18,75 }\) unités d’article, et ce bénéfice maximal est de \(\boxed{ 553,125 \, \text{CHF} }\).