Question : On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x) = 3x^{2} - 6x + 2\) pour \(x\) compris entre \(0\) et \(5\).
a. Complète le tableau de valeurs de la fonction \(g\).
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) |
b. Donne les coordonnées des six points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) et \(F\) appartenant au graphique de \(g\) d’abscisses respectives \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) et \(5\).
c. Place ces points dans un repère et trace une ébauche de courbe au crayon à papier.
d. Pour être plus précis dans le tracé, détermine d’autres points appartenant à cette courbe. Complète le tableau de valeurs de la fonction \(g\).
| \(x\) | \(0,5\) | \(1,5\) | \(2,5\) | \(3,5\) | \(4,5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) |
e. Donne les coordonnées des cinq points \(G\), \(H\), \(I\), \(J\) et \(K\) appartenant au graphique de \(g\) d’abscisses respectives \(0,5\), \(1,5\), \(2,5\), \(3,5\) et \(4,5\).
f. Place sur le graphique les points obtenus à la question e, puis améliore ton tracé.
Nous avons calculé g(x) = 3x² – 6x + 2 pour x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 et obtenu les points A(0; 2), B(1; –1), C(2; 2), D(3; 11), E(4; 26), F(5; 47). En complétant avec x = 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5 ; 4,5, nous avons trouvé G(0,5; –0,25), H(1,5; –0,25), I(2,5; 5,75), J(3,5; 17,75) et K(4,5; 35,75). Le tracé de ces points dans un repère permet de représenter précisément la courbe parabolique de g.
Nous souhaitons étudier la fonction g définie par
g(x) = 3x² – 6x + 2
pour x compris entre 0 et 5. Nous allons procéder étape par étape.
────────────────────────────── 1. Calculer g(x) pour x = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
Pour chaque valeur, on remplace x par la valeur donnée dans l’expression :
Pour x = 0
g(0) = 3 × (0)² – 6 × 0 + 2
= 0 – 0 + 2 = 2
Pour x = 1
g(1) = 3 × (1)² – 6 × 1 + 2
= 3 – 6 + 2
= –1
Pour x = 2
g(2) = 3 × (2)² – 6 × 2 + 2
= 3 × 4 – 12 + 2
= 12 – 12 + 2 = 2
Pour x = 3
g(3) = 3 × (3)² – 6 × 3 + 2
= 3 × 9 – 18 + 2
= 27 – 18 + 2
= 11
Pour x = 4
g(4) = 3 × (4)² – 6 × 4 + 2
= 3 × 16 – 24 + 2
= 48 – 24 + 2
= 26
Pour x = 5
g(5) = 3 × (5)² – 6 × 5 + 2
= 3 × 25 – 30 + 2
= 75 – 30 + 2
= 47
Ainsi, le tableau de valeurs devient :
x : 0 1 2 3 4 5
g(x) : 2 –1 2 11 26 47
────────────────────────────── 2. Donner les coordonnées des points A, B, C, D, E et F
Chaque point a pour abscisse la valeur de x et pour ordonnée g(x) : A(0 ; 2) B(1 ; –1) C(2 ; 2) D(3 ; 11) E(4 ; 26) F(5 ; 47)
────────────────────────────── 3. Tracer une ébauche du graphique
Place ces points dans un repère (avec l’axe horizontal pour x et l’axe vertical pour g(x)). Représente ensuite à la main la courbe passant par ces points pour visualiser la forme de la fonction g.
────────────────────────────── 4. Compléter le tableau avec d’autres valeurs – les demi-valeurs :
On calcule g(x) pour x = 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5 ; 4,5.
Pour x = 0,5
g(0,5) = 3 × (0,5)² – 6 × 0,5 + 2
= 3 × 0,25 – 3 + 2
= 0,75 – 3 + 2
= –0,25
Pour x = 1,5
g(1,5) = 3 × (1,5)² – 6 × 1,5 + 2
= 3 × 2,25 – 9 + 2
= 6,75 – 9 + 2
= –0,25
(Les calculs montrent que g(0,5) et g(1,5) sont égaux, ce qui est une
particularité de cette fonction.)
Pour x = 2,5
g(2,5) = 3 × (2,5)² – 6 × 2,5 + 2
= 3 × 6,25 – 15 + 2
= 18,75 – 15 + 2
= 5,75
Pour x = 3,5
g(3,5) = 3 × (3,5)² – 6 × 3,5 + 2
= 3 × 12,25 – 21 + 2
= 36,75 – 21 + 2
= 17,75
Pour x = 4,5
g(4,5) = 3 × (4,5)² – 6 × 4,5 + 2
= 3 × 20,25 – 27 + 2
= 60,75 – 27 + 2
= 35,75
Le tableau se complète alors :
x : 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5
g(x) : –0,25 –0,25 5,75 17,75 35,75
────────────────────────────── 5. Donner les coordonnées des points G, H, I, J et K
Pour chacune des valeurs, on reprend la paire (x ; g(x)) : G(0,5 ; –0,25) H(1,5 ; –0,25) I(2,5 ; 5,75) J(3,5 ; 17,75) K(4,5 ; 35,75)
────────────────────────────── 6. Améliorer le tracé
Place ces cinq nouveaux points sur le même repère que précédemment. En ajoutant ces points « intermédiaires » sur la courbe, ton tracé devient plus précis et permet de mieux visualiser la forme parabolique de la fonction g.
────────────────────────────── Conclusion
Nous avons : a) Complété le premier tableau avec :
x : 0, 1, 2, 3, 4, 5
g(x) : 2, –1, 2, 11, 26, 47
Les points sur le graphique sont :
A(0 ; 2), B(1 ; –1), C(2 ; 2), D(3 ; 11), E(4 ; 26), F(5 ;
47)
Après traçage, la courbe passe par ces points.
Le second tableau se complète avec :
x : 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5 ; 4,5
g(x) : –0,25 ; –0,25 ; 5,75 ; 17,75 ; 35,75
Les points correspondants sont :
G(0,5 ; –0,25), H(1,5 ; –0,25), I(2,5 ; 5,75), J(3,5 ; 17,75), K(4,5 ;
35,75)
En plaçant ces points sur le graphique précédent, ton tracé devient plus précis et te permet de mieux représenter la courbe de la fonction g.
Cette démarche permet de bien comprendre comment utiliser une fonction pour obtenir des points et réaliser un graphique précis.