Déterminer \(a\), \(b\) et \(c\) pour que la parabole d’équation \(y = a x^{2} + b x + c\) passe par les points \(A(3 ; 10)\), \(B(-2 ; 20)\) et \(C(5 ; 48)\).
Les coefficients de la parabole sont \(a = 3\), \(b = -5\) et \(c = -2\). L’équation est donc \(y = 3x² - 5x - 2\).
Pour déterminer les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) de la parabole d’équation \(y = a x^{2} + b x + c\) passant par les points \(A(3 ; 10)\), \(B(-2 ; 20)\) et \(C(5 ; 48)\), nous allons suivre les étapes suivantes :
Puisque la parabole passe par les trois points donnés, les coordonnées de chaque point doivent satisfaire l’équation de la parabole. On peut donc écrire :
\[ \begin{cases} 10 = a \times 3^{2} + b \times 3 + c \\ 20 = a \times (-2)^{2} + b \times (-2) + c \\ 48 = a \times 5^{2} + b \times 5 + c \\ \end{cases} \]
Simplifions chaque équation :
\[ \begin{cases} 10 = 9a + 3b + c \quad \text{(1)} \\ 20 = 4a - 2b + c \quad \text{(2)} \\ 48 = 25a + 5b + c \quad \text{(3)} \\ \end{cases} \]
Nous allons utiliser la méthode de substitution ou d’élimination pour résoudre ce système. Ici, nous allons procéder par élimination.
Soustrayons l’équation (1) de l’équation (2) pour éliminer \(c\) :
\[ (2) - (1) : \quad (20 - 10) = (4a - 9a) + (-2b - 3b) + (c - c) \] \[ 10 = -5a - 5b \quad \text{(4)} \]
De même, soustrayons l’équation (1) de l’équation (3) :
\[ (3) - (1) : \quad (48 - 10) = (25a - 9a) + (5b - 3b) + (c - c) \] \[ 38 = 16a + 2b \quad \text{(5)} \]
Nous avons maintenant deux équations avec deux inconnues :
\[ \begin{cases} -5a - 5b = 10 \quad \text{(4)} \\ 16a + 2b = 38 \quad \text{(5)} \\ \end{cases} \]
Simplifions l’équation (4) en divisant par -5 :
\[ a + b = -2 \quad \text{(6)} \]
Nous pouvons exprimer \(a\) en fonction de \(b\) :
\[ a = -2 - b \quad \text{(7)} \]
Substituons \(a\) dans l’équation (5) :
\[ 16(-2 - b) + 2b = 38 \] \[ -32 - 16b + 2b = 38 \] \[ -32 - 14b = 38 \] \[ -14b = 38 + 32 \] \[ -14b = 70 \] \[ b = -5 \]
Maintenant que nous avons \(b = -5\), utilisons l’équation (7) pour trouver \(a\) :
\[ a = -2 - (-5) = -2 + 5 = 3 \]
Utilisons l’une des équations initiales pour trouver \(c\). Prenons l’équation (1) :
\[ 10 = 9a + 3b + c \] \[ 10 = 9 \times 3 + 3 \times (-5) + c \] \[ 10 = 27 - 15 + c \] \[ 10 = 12 + c \] \[ c = 10 - 12 = -2 \]
Les coefficients de la parabole sont :
\[ \boxed{ \begin{cases} a = 3 \\ b = -5 \\ c = -2 \\ \end{cases} } \]
Ainsi, l’équation de la parabole recherchée est :
\[ y = 3x^{2} - 5x - 2 \]