Soit l’application \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(g(x) = x^{2} + 2x - 35\). En quels points le graphique de cette application coupe-t-il
l’axe des abscisses ?
l’axe des ordonnées ?
Le graphique de \(g(x) = x^{2} + 2x - 35\) coupe l’axe des abscisses aux points \((-7,\ 0)\) et \((5,\ 0)\), et l’axe des ordonnées au point \((0,\ -35)\).
Énoncé : Soit l’application \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(g(x) = x^{2} + 2x - 35\). En quels points le graphique de cette application coupe-t-il
l’axe des abscisses ?
l’axe des ordonnées ?
Pour déterminer les points où le graphique de \(g\) coupe l’axe des abscisses, il faut trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(g(x) = 0\).
Étapes de la résolution :
Écrire l’équation à résoudre : \[ g(x) = x^{2} + 2x - 35 = 0 \]
Résoudre l’équation quadratique :
L’équation est du second degré et peut être résolue par factorisation ou en utilisant la formule quadratique. Ici, nous allons essayer de factoriser.
Factorisation de l’équation :
Recherche de deux nombres \(a\) et \(b\) tels que : \[ a \times b = -35 \quad \text{et} \quad a + b = 2 \]
Les nombres \(7\) et \(-5\) satisfont ces conditions : \[ 7 \times (-5) = -35 \quad \text{et} \quad 7 + (-5) = 2 \]
Exprimer le trinôme sous forme factorisée : \[ x^{2} + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5) = 0 \]
Appliquer le principe du produit nul :
Si \((x + 7)(x - 5) = 0\), alors : \[ x + 7 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 5 = 0 \]
Donc : \[ x = -7 \quad \text{ou} \quad x = 5 \]
Déterminer les points d’intersection :
Les points où le graphique coupe l’axe des abscisses sont : \[ (-7, \ 0) \quad \text{et} \quad (5, \ 0) \]
Conclusion : Le graphique de \(g\) coupe l’axe des abscisses aux points \((-7, \ 0)\) et \((5, \ 0)\).
Pour déterminer le point où le graphique de \(g\) coupe l’axe des ordonnées, il faut calculer la valeur de \(g(x)\) lorsque \(x = 0\).
Étapes de la résolution :
Calculer \(g(0)\) : \[ g(0) = (0)^{2} + 2 \times 0 - 35 = 0 + 0 - 35 = -35 \]
Déterminer le point d’intersection :
Le point où le graphique coupe l’axe des ordonnées est : \[ (0, \ -35) \]
Conclusion : Le graphique de \(g\) coupe l’axe des ordonnées au point \((0, \ -35)\).
Ces points permettent de tracer le graphique de la fonction quadratique \(g(x) = x^{2} + 2x - 35\) de manière précise en identifiant les points clés où la courbe croise les axes de coordonnées.